加强版斐波那契数列（矩阵快速幂）

关于快速幂的讲解可以参见我的上一篇博客《快速幂》

题目链接：又见斐波那契

题目描述 

这是一个加强版的斐波那契数列。

给定递推式

求F(n)的值，由于这个值可能太大，请对10 9+7取模。

输入描述:

第一行是一个整数T(1 ≤ T ≤ 1000)，表示样例的个数。
以后每个样例一行，是一个整数n(1 ≤ n ≤ 1018)。

输出描述:

每个样例输出一行，一个整数，表示F(n) mod 1000000007。

示例1

输入

4
1
2
3
100

输出

1
16
57
558616258

这个相比普通的斐波那契数列多了后面四项，看一眼数据范围，使用普通的o（n）的算法肯定会超时，

因此这里需要使用矩阵快速幂（斐波那契数列的项数n一旦过大，就要考虑快速幂，普通算法时间空间都开销太大）。

使用矩阵快速幂的一个关键问题就是矩阵递推式。

参考普通快速幂那一片博客最后面的那个扩展式，就可以得到下面这个递推式了：

然后通过计算等价替换可得出该矩阵A：

下面只需要把普通斐波那契数列的构造由2*2的矩阵换为6*6的即可。

1. #include <iostream>
2. #include <cstdio>
3. #include <algorithm>
4. #include <vector>
5. #include <cstring>
7. using namespace std;
9. typedef long long ll;
11. // 用二维vector来表示矩阵
12. typedef vector<ll> vec;
13. typedef vector<vec> mat;
15. // 模
16. const int M = 1000000007;
18. // 计算 A*B
19. mat mul(mat& A, mat& B) {
20. mat C(A.size(), vec(B[0].size()));
21. for ( int i = 0 ; i < A.size() ; ++ i ) {
22. for ( int k = 0 ; k < B.size() ; ++ k ) {
23. for ( int j = 0 ; j < B[ 0].size() ; ++ j ) {
24. C[i][j] = (C[i][j]+A[i][k]*B[k][j]%M)%M;
25. }
26. }
27. }
28. return C;
29. }
31. // 计算 A^B
32. mat pow(mat A, ll n) {
33. mat B(A.size(), vec(A.size()));
34. for ( int i = 0 ; i < A.size() ; ++ i ) {
35. B[i][i] = 1;
36. }
37. while ( n > 0 ) {
38. if ( n & 1 ) B = mul(B, A);
39. A = mul(A, A);
40. n >>= 1;
41. }
42. return B;
43. }
45. int main()
46. {
47. int T;
48. scanf( "%d", &T );
49. ll n;
50. mat A(6, vec(6));
51. while ( T -- ) {
52. scanf( "%lld", &n );
53. if ( n == 0 ) { puts( "0" ); continue; }
54. if ( n == 1 ) { puts( "1" ); continue; }
55. for ( int i = 0 ; i < 6 ; ++ i ) {
56. for ( int j = 0 ; j < 6 ; ++ j ) {
57. A[i][j] = 0;
58. }
59. }
60. A[ 0][ 0] = 1; A[ 0][ 1] = 1; A[ 0][ 2] = 1; A[ 0][ 3] = 4; A[ 0][ 4] = 6; A[ 0][ 5] = 4;
61. A[ 1][ 0] = 1;
62. A[ 2][ 2] = 1; A[ 2][ 3] = 3; A[ 2][ 4] = 3; A[ 2][ 5] = 1;
63. A[ 3][ 3] = 1; A[ 3][ 4] = 2; A[ 3][ 5] = 1;
64. A[ 4][ 4] = 1; A[ 4][ 5] = 1;
65. A[ 5][ 5] = 1;
66. A = pow(A, n -1);
67. ll ans = 0;
68. for ( int i = 0 ; i < 6 ; ++ i ) {
69. if ( i == 1 ) continue;
70. ans = (ans+A[ 0][i])%M;
71. }
72. printf( "%lld\n", ans );
73. }
74. return 0;
75. }