【数值分析】试位法求解-Python实现

这篇博客介绍了数值分析中试位法的Python代码实现,适用于Python3.6环境,依赖于matplotlib和numpy库。作者欢迎读者提出意见和建议。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

本篇为数值分析课程代码实现-试位法的实现

仅供参考

配置环境

  • Python3.6
  • matplotlib
  • numpy
  • # -*- coding: utf-8 -*-
    """
    Created on Fri Nov 16 21:33:10 2018
    试位法法
    @author: hhuaf
    """
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    '''
    a :下限
    b :上限
    theta:阈值
    '''
    #a=input('输入下限\n:')
    #b=input('输入上限\n:')
    #a=float(a)
    #b=float(b)
    a=-1
    b=1
    theta=0.05
    
    #可以显示中文
    plt.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]
    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
    
    # 设置风格
    plt.style.use('ggplot')
    
    # 定义函数,构造数值
    fun = lambda x: x**3-3*x+1
    #fun = lambda x: x**2-1
    x = np.arange(a,b,0.05)
    y = fun(x)
    
    # 画出图像
    
    fig = plt.figure(figsize = (15, 10))
    plt.subplot(2,3,1)
    plt.xlim(a, b)
    plt.xlabel('X')
    plt.ylabel('Y')
    plt.title('$f(x)=x^3-3x+1$ 图像')
    plt.plot(
<think>好的,我现在需要回答用户关于的算数值分析的问题。首先,我得回忆的基本概念,确保自己理解正确。,也称为假(False Position Method),是一种求解非线性方程根的数值方。它和二分类似,但通过利用函数值的斜率来加快收敛速度。 接下来,我要检查用户提供的引用内容,看看是否有相关信息。引用[3]提到了二分、不动点迭代、牛顿、割线等,指出使用两点的割线,类似于牛顿但不用导数,收敛速度中等。这里的信息可以帮助我补充的特点,尤其是与割线的区别。 用户可能需要的算步骤、实现代码以及相关分析。根据数值分析的知识,的基本步骤是:选择两个初始点a和b,使得f(a)和f(b)符号相反;然后通过连接这两个点的直线与x轴的交点来更新区间,迭代直到满足精度要求。 需要注意与二分的区别,利用线性插值来估计根的置,而二分只是简单地取中点。因此,通常收敛更快,但在某些情况下可能出现收敛速度变慢的问题,比如当函数在某一侧变化缓慢时,可能需要改进方,如伊利诺斯算。 然后,我需要确保回答的结构清晰,按照用户的要求使用正确的LaTeX格式,行内公式用$...$,独立公式用$$...$$。例如,的迭代公式应该写成独立公式。同时,生成相关问题,如收敛性分析、与二分的比较、优化方等。 在代码实现部分,用户可能希望看到Python示例,所以需要编写一个简单的函数,并注释关键步骤。确保代码正确,比如检查循环条件和迭代公式是否正确应用。 最后,引用文献需要对应到用户提供的引用内容,但用户给出的引用[1]和[2]似乎与无关,而引用[3]提到了,因此需要正确引用,可能需要在回答末尾添加引用标识[^3],但需要确认用户提供的引用是否准确对应相关内容。可能用户提供的引用中有误,需要根据实际情况调整。 总结回答的步骤:定义,算步骤,迭代公式,代码实现,收敛性分析,优缺点,改进方,相关问题。确保每个部分都准确,符合数值分析的理论基础,并且语言简洁明了。</think>### (False Position Method) 求解方程 $f(x)=0$ 根的数值方,属于区间迭代的一种。其核心思想是通过线性插值不断缩小根的区间范围,结合了二分的可靠性和割线的快速收敛特性[^3]。 --- #### **算步骤** 1. **初始化**:选取初始区间 $[a,b]$,满足 $f(a) \cdot f(b) < 0$(即函数值异号) 2. **迭代计算**: - 计算插值点 $c$: $$ c = b - \frac{f(b)(b-a)}{f(b)-f(a)} $$ - 若 $f(c) = 0$,则 $c$ 为根,停止迭代 - 否则,根据 $f(a) \cdot f(c)$ 的符号更新区间: - 若 $f(a) \cdot f(c) < 0$,更新区间为 $[a,c]$ - 若 $f(c) \cdot f(b) < 0$,更新区间为 $[c,b]$ 3. **终止条件**:当 $|f(c)| < \epsilon$ 或区间长度 $|b-a| < \delta$ 时停止($\epsilon$ 和 $\delta$ 为预设精度) --- #### **Python实现** ```python def false_position(f, a, b, epsilon=1e-6, max_iter=100): if f(a) * f(b) >= 0: raise ValueError("区间端点函数值必须异号") for _ in range(max_iter): fa, fb = f(a), f(b) c = b - fb * (b - a) / (fb - fa) fc = f(c) if abs(fc) < epsilon: return c if fa * fc < 0: b = c else: a = c return c # 返回最后一次迭代结果 ``` --- #### **关键特性** 1. **收敛性**: - 保证收敛(前提是初始区间包含根) - 收敛速度通常快于二分,但可能慢于牛顿 - 线性收敛速度,收敛阶为 $p=1$ 2. **优缺点**: - **优点**:无需计算导数,稳定性强 - **缺点**:在函数某一侧变化极慢时可能出现“停滞”(如单侧线性函数),此时需引入改进算(如伊利诺斯--- #### **改进方** - **伊利诺斯(Illinois Method)**:通过权重调整避免单侧迭代停滞,公式修改为: $$ c = \frac{a \cdot f(b) - b \cdot f(a)}{f(b) - f(a)} $$ 在连续同侧迭代时对函数值进行折半处理以加速收敛。 ---
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值