N皇后问题 回溯法

回溯法过程



在试探过程中,皇后的放置需要检查她的位置是否和已经放置好的皇后发生冲突,因此需要一个检查函数

假如两个皇后被放置在(i,j)和(k,l)上 ,当且仅当 |i-k|==|j-l| 时两个皇后在同一条对角线上。

(1).先从首位开始检查,如果不能放置,则检查该行的第二个位置,依次进行下去,直到找到一个可以放置皇后的位置,保存当前状态,然后转下一行重复该操作。

(2).如果检查该行所有位置均不能放置,说明上一行放置的皇后无法让所有的皇后找到自己合适的位置。因此就要回溯到上一行,继续检查该皇后后面的位置。

附代码

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
using namespace std;
int ans = 0,queen[15];
int n,num[15];
int check(int x)     //用于检查皇后是否可以放在此位置
{
	for(int i = 0;i<x;i++)
	{
		//queen[i] == queen[x] 用于保证元素不在同一列
		//abs(queen[i] == queen[x] == abs(n-i)) 用于约束元素不在同一行且不在同一条斜线上
		if(queen[i] == queen[x] || abs(queen[i] - queen[x]) == abs(x-i))
			return 0;
	}
	return 1;
}
//核心函数 回溯法思想
void NQUEEN(int x)  //回溯尝试皇后的位置
{
	for(int i = 0;i<n;i++)
	{
		//首先将皇后放置在第0列的位置
		queen[x] = i;   //姜皇后摆在当前循环到的位置
		if(check(x))
		{
			if(x == n-1)
				ans++;   // 如果全都摆好,则ans++
			else
				NQUEEN(x+1); // 否则继续摆下一个皇后
		}
	}
}
void init()  //一定要打表,不然会超时
{
	for(n = 1;n<=10;n++)
	{
		ans = 0;
		NQUEEN(0);    //从横坐标0开始尝试
		num[n] = ans;
	}
}
int main()
{
	init();
	while(scanf("%d",&n))
	{
		if(n == 0)
			break;
		printf("%d\n",num[n]);
	}
}


### N皇后问题回溯法编程示例 #### 一、N皇后问题概述 N皇后问题是经典的组合数学难题之一,目标是在 n×n 的国际象棋棋盘上放置 n 个皇后,使它们互不攻击。即任何两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一条对角线之上。 #### 二、解决方案——回溯算法原理 回溯是一种通过尝试所有可能情况来解决问题的方法,在遇到冲突时会撤销前一步操作并继续探索其他可能性。对于N皇后问题来说,就是逐行摆放皇后,并检测当前位置是否合法;如果不合法则返回至上一层重新选择位置直到找到可行解为止[^1]。 #### 三、Python实现代码 下面给出基于上述思路编写的 Python 版本程序: ```python def solve_n_queens(n): result = [] def could_place(row, col): return not (cols[col] + hill_diagonals[row - col] + dale_diagonals[row + col]) def place_queen(row, col): queens.add((row, col)) cols[col], hill_diagonals[row - col], dale_diagonals[row + col] = True, True, True def remove_queen(row, col): queens.remove((row, col)) cols[col], hill_diagonals[row - col], dale_diagonals[row + col] = False, False, False def add_solution(): solution = [] for _, col in sorted(queens): solution.append('.' * col + 'Q' + '.' * (n - col - 1)) result.append(solution) def backtrack(row=0): for col in range(n): if could_place(row, col): place_queen(row, col) if row + 1 == n: add_solution() else: backtrack(row + 1) remove_queen(row, col) cols = [False] * n hill_diagonals = [False] * (2 * n - 1) dale_diagonals = [False] * (2 * n - 1) queens = set() emptyboard = [['.'] * n for _ in range(n)] backtrack() return result if __name__ == '__main__': solutions = solve_n_queens(8) for i, sol in enumerate(solutions[:5]): print(f'Solution {i+1}:') for line in sol: print(line) ``` 此段代码实现了完整的求解过程,其中`could_place()`函数用于判断某处能否放置皇后;而`place_queen()`, `remove_queen()`分别负责标记已占用的位置以及清除这些标志位以便后续试探其它路径;最后由`add_solution()`收集到当前有效的布局方案[^3]。
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