算法-扩展欧几里得

以下部分内容摘自百度百科

最大公约数与最小公倍数的关系

设a,b的最大公约数为gcd,最小公倍数为lcm
这存在这样的关系：a * b=gcd * lcm

欧几里德算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
gcd函数就是用来求(a,b)的最大公约数的。
gcd函数的基本性质：gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(-a,b)=gcd(|a|,|b|)
公式表述 : gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)

int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

扩展欧几里得算法

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然
存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

int gcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if (b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int q=gcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return q;
}