多重背包二进制拆分【模板】

本文介绍了一种解决多重背包问题的有效方法,通过将物品数量使用二进制进行拆分,使得每种物品可以表示为任意数量,从而简化了问题。这种方法将多重背包转换为多个01背包问题,显著降低了算法的时间复杂度。

区分一下:多重背包可行性问题

把多重背包用二进制拆分,拆分后的能表示它所能表示的任意数字.
比如:7 = 1 + 2 + 4, 13 = 1 + 4 + 8;
然后把价值和空间对应也更新,然后用01背包直接写就行,复杂度: nmlog(num) n ∗ m ∗ l o g ( n u m ) .

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int MAXN = 1e6 + 10;
LL v[110], w[110], c[110];
//多重背包:v表示价值,w表示空间,c表示个数
LL val[1010], size[1010];
//01背包:val表示新的价值,size表示新的空间 
LL dp[MAXN];

int main() { 
    int n, m;
    while(scanf("%d %d", &n, &m) != EOF) {     
        int count = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++) {  
            scanf("%lld %lld %lld", &c[i], &w[i], &v[i]);
            for(LL j = 1; j <= c[i]; j << 1) {
                val[count] = j * v[i];
                size[count++] = j * w[i];
                c[i] -= j;
            }
            if(c[i] > 0) {
                val[count] = c[i] * v[i];
                size[count++] = c[i] * w[i];
            }
        }
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for(int i = 0; i < count; ++i) {
            for(int j = m; j >= size[i]; --j) {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - size[i]] + val[i]);
            }
        }
        printf("%lld\n", dp[m]);
    }  
    return 0;  
}
<think>首先,用户要求使用中文回答问题。问题是关于“C++多重背包二进制拆分”。我需要解释多重背包问题以及如何使用二进制拆分来解决它。 多重背包问题:在背包问题中,每个物品有重量和价值,但多重背包允许每个物品有多个实例(即有限的数量)。目标是选择物品放入背包,使得总重量不超过背包容量,同时总价值最大化。 二进制拆分是一种优化技术,用于将多重背包问题转化为0-1背包问题。通过将每个物品拆分成多个二进制表示的子物品,从而减少物品数量,提高效率。 步骤: 1. 对于每个物品i,有数量为c[i],价值为v[i],重量为w[i]。 2. 将c[i]拆分二进制表示:例如,如果c[i] = 13,可以拆分为1, 2, 4, 6(因为1+2+4+6=13)。 3. 每个拆分后的子物品代表一个新的物品,其价值为v[i] * k,重量为w[i] * k,其中k是二进制的部分。 4. 然后,问题转化为0-1背包问题,其中每个新物品只能选或不选。 在C++中实现: - 需要处理输入:物品数量、背包容量、每个物品的重量、价值和数量。 - 使用动态规划(DP)解决0-1背包问题。 - DP数组dp[j]表示容量为j时的最大价值。 我将提供一个简单的C++代码示例。 代码结构: - 输入处理。 - 二进制拆分:创建新的物品列表。 - 初始化DP数组。 - 遍历新物品,更新DP。 - 输出最大价值。 确保代码正确:使用适当的循环和更新。 现在,回答完问题后,必须提出3-5个相关问题。问题必须以“§§相关问题§§”开头,并在同一行输出,然后列出1. 2. 3. 等。 相关问题应该基于用户的问题和我的回答。可能的主题: 1. 二进制拆分的原理。 2. C++实现细节。 3. 优化技巧。 4. 与其他背包问题的比较。 5. 实际应用。 列出3-5个: 1. 二进制拆分为什么能减少时间复杂度? 2. 在C++中如何高效地实现二进制拆分? 3. 多重背包问题还有哪些其他解决方法? 4. 二进制拆分适用于哪些场景? 5. 如何处理背包容量很大的情况? 确保格式:第一行必须是“§§相关问题§§”,然后直接列出问题,用数字点,不要换行分散。示例中是“1. ···”等,所以我也用点。 最终输出结构: 1. 回答问题(中文)。 2. 提供C++代码(用代码块)。 3. 然后“§§相关问题§§”后跟问题列表。</think>在C++中,多重背包问题(Multiple Knapsack Problem)是指每个物品有多个实例(即有限数量),目标是在不超过背包容量的前提下最大化总价值。二进制拆分(Binary Splitting)是一种优化技术,将多重背包转化为0-1背包问题,通过将每个物品的数量拆分二进制表示(如数量13拆为1、2、4、6),从而减少物品数量,降低时间复杂度至O(V*Σlog c_i),其中V是背包容量,c_i是物品数量。 ### 二进制拆分原理: 1. **拆分过程**:对于每个物品i(重量w_i、价值v_i、数量c_i),将其拆分为若干子物品。每个子物品的数量k是2的幂(如1,2,4,...),直到剩余数量不足下一个幂(如6)。子物品的重量为w_i * k,价值为v_i * k。 2. **转化为0-1背包**:拆分后,每个子物品视为一个独立物品(只能选或不选),然后用标准0-1背包的DP求解。 3. **DP状态转移**:设dp[j]为容量j时的最大价值。遍历所有子物品,逆向更新:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight] + value)。 ### C++实现示例 以下代码演示多重背包二进制拆分解法: ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; int main() { int n, V; // n: 物品种类数, V: 背包容量 cin >> n >> V; vector<int> weights, values; // 存储拆分后的新物品 // 输入原始物品:重量w, 价值v, 数量c for (int i = 0; i < n; i++) { int w, v, c; cin >> w >> v >> c; // 二进制拆分 for (int k = 1; k <= c; k *= 2) { weights.push_back(w * k); values.push_back(v * k); c -= k; } if (c > 0) { // 处理剩余数量 weights.push_back(w * c); values.push_back(v * c); } } // 0-1背包DP:dp[j]表示容量j的最大价值 vector<int> dp(V + 1, 0); for (int i = 0; i < weights.size(); i++) { for (int j = V; j >= weights[i]; j--) { // 逆向遍历防止重复选择 dp[j] = max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i]); } } cout << "最大价值: " << dp[V] << endl; return 0; } ``` **代码说明**: - 输入格式:先输入物品种类数n和背包容量V,然后每行输入一个物品的重量、价值和数量。 - 拆分过程:对每个物品,循环拆分出2的幂次子物品(如c=13时拆为k=1,2,4,6)。 - DP更新:使用一维数组dp,从大到小遍历容量,确保每个子物品只选一次。 - 时间复杂度:O(V * Σlog c_i),空间复杂度O(V)。
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