多重背包二进制拆分【模板】

最新推荐文章于 2024-03-28 19:50:23 发布

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本文介绍了一种解决多重背包问题的有效方法，通过将物品数量使用二进制进行拆分，使得每种物品可以表示为任意数量，从而简化了问题。这种方法将多重背包转换为多个01背包问题，显著降低了算法的时间复杂度。

区分一下：多重背包可行性问题

把多重背包用二进制拆分，拆分后的能表示它所能表示的任意数字.
比如：7 = 1 + 2 + 4， 13 = 1 + 4 + 8；
然后把价值和空间对应也更新，然后用01背包直接写就行，复杂度： $n * m * log(num)$ .

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int MAXN = 1e6 + 10;
LL v[110], w[110], c[110];
//多重背包：v表示价值，w表示空间，c表示个数
LL val[1010], size[1010];
//01背包：val表示新的价值，size表示新的空间 
LL dp[MAXN];

int main() { 
    int n, m;
    while(scanf("%d %d", &n, &m) != EOF) {     
        int count = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++) {  
            scanf("%lld %lld %lld", &c[i], &w[i], &v[i]);
            for(LL j = 1; j <= c[i]; j << 1) {
                val[count] = j * v[i];
                size[count++] = j * w[i];
                c[i] -= j;
            }
            if(c[i] > 0) {
                val[count] = c[i] * v[i];
                size[count++] = c[i] * w[i];
            }
        }
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for(int i = 0; i < count; ++i) {
            for(int j = m; j >= size[i]; --j) {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - size[i]] + val[i]);
            }
        }
        printf("%lld\n", dp[m]);
    }  
    return 0;  
}