【算法分析与设计】HW1

【算法分析与设计】HW1

Question

使用生成函数法分析斐波拉契数列的时间复杂度。

斐波拉契数列：

$$f(n)=\{\begin{array}{ll}1& n=1,2\\ f(n-1)+f(n-2)& n>2\end{array}$$

reference

生成函数法步骤：

• 把递归函数 $h(n)$ 的各个取值构造函数 $G(x)$ ：

  $G(x)=h(1)x+h(2)x^2+h(3)x^3+\cdots ={\sum }_{k=1}^{\infty }h(k)x^k$

• 为了求出 $h(n)$ ，对 $G(x)$ 进行演算，求出其解析表达式

• 再对 $G(x)$ 的解析表达式转换为对应的幂级数

• 对照幂级数的系数，获得 $h(n)$ 的解析表达式

Answer

• 构造生成函数 $G(x)$ :

  $$G(x)=f(1)x+f(2)x^2+f(3)x^3+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }f(k)x^k$$

• 演算：

  观察递推公式 $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$ ，该公式是关于连续三项的关系，且系数均为常数1，所以可以进行如下变化：
  $$\begin{array}{r}G(x)=f(1)x+f(2)x^2+f(3)x^3+f(4)x^4+f(5)x^5+\dots \\ xG(x)=f(1)x^2+f(2)x^3+f(3)x^4+f(4)x^5+\dots \\ x^{2}G(x)=f(1)x^3+f(2)x^4+f(3)x^5+\dots \end{array}$$

根据斐波拉契数列可知，

$$\{\begin{array}{ll}f(1)=1& \\ f(2)-f(1)=0& \\ f(n)-f(n-1)-f(n-2)=0& (n>2)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}(1-x-x^2)G(x)=& f(1)x+(f(2)-f(1))x^2+(f(3)-f(2)-f(1))x^3+(f(4)-f(3)-f(2))x^4+\dots \\ =& x+0\cdot x^2+0\cdot x^3+0\cdot x^4+\dots \\ =& x\end{array}$$

$\Rightarrow G(x)=\frac{x}{1-x-x^2}$

• 将 $G(x)=\frac{x}{1-x-x^2}$ 转化成幂级数：

  $G(x)=\frac{x}{1-x-x^2}=\frac{x}{(1-\alpha x)(1-\beta x)}$，其中$\alpha =\frac{1+\sqrt{5}}{2},\beta =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

  $G(x)=\frac{A}{1-\alpha x}+\frac{B}{1-\beta x}$，求得$A=\frac{1}{\sqrt{5}},B=-\frac{1}{\sqrt{5}}$

  根据公式：

  $\frac{1}{1-x}={\sum }_{k=0}^{\infty }{x}^k$

  $\Rightarrow \frac{1}{1-\alpha x}={\sum }_{k=0}^{\infty }(\alpha x{)}^k$

  $\Rightarrow \frac{1}{1-\beta x}={\sum }_{k=0}^{\infty }(\beta x{)}^k$

  可得幂级数：
  $$\begin{array}{rl}G(x)=& A\sum _{k=0}^{\infty }(\alpha x{)}^k+B\sum _{k=0}^{\infty }(\beta x{)}^k\\ =& \sum _{k=0}^{\infty }(A(\alpha x{)}^k+B(\beta x{)}^k)\\ =& \sum _{k=1}^{\infty }(A(\alpha x{)}^k+B(\beta x{)}^k)\\ =& \sum _{k=1}^{\infty }(A{\alpha }^k+B{\beta }^k)x^k\\ =& \sum _{k=1}^{\infty }f(k)x^k\end{array}$$

• 对照幂级数的系数，获得 $f(n)$ 的解析表达式

$$\begin{array}{rl}f(n)=& A{\alpha }^n+B{\beta }^n\\ =& \frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n)\end{array}$$

时间复杂度分析：
利用生成函数法解得 $f(n)$ 的一般表达式，则斐波拉契数列的时间复杂度就是计算 $\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n)$ 的复杂度，编码上似乎只用一行代码就能解决，时间复杂度为$O(1)$，当然你可以不调用power函数，自己写算法计算乘方，乘方计算较高效时间复杂度为$O(logn)$。