【图论-差分约束-SPFA\Floyd】中山纪念中学暑期游Day12——DY引擎

本文介绍了一个结合图论与最短路径算法的复杂问题，通过差分约束系统求解收费站位置，并利用Floyd算法与SPFA算法求解带有限制条件的最短路径。文章详细阐述了解题思路，包括数据结构设计与算法实现。

前言

这是什么毒瘤题啊...把两个难搞的子问题放在了一起...成功获得大家的“赞誉”...

题目

BOSS送给小唐一辆车。小唐开着这辆车从PKU出发去ZJU上课了。

众所周知，天朝公路的收费站超多的。经过观察地图，小唐发现从PKU出发到ZJU的所有路径只会有N（2<=N<=300）个不同的中转点，其中有M（max(0, N-100) <=M<=N）个点是天朝的收费站。N个中转点标号为1…N，其中1代表PKU，N代表ZJU。中转点之间总共有E（E<=50,000）条双向边连接。

每个点还有一个附加属性，用0/1标记，0代表普通中转点，1代表收费站。当然，天朝的地图上面是不会直接告诉你第i个点是普通中转点还是收费站的。地图上有P（1<=P<=3,000）个提示，用[u, v, t]表示：[u, v]区间的所有中转点中，至少有t个收费站。数据保证由所有提示得到的每个点的属性是唯一的。

车既然是BOSS送的，自然非比寻常了。车子使用了世界上最先进的DaxiaYayamao引擎，简称DY引擎。DY引擎可以让车子从U瞬间转移到V，只要U和V的距离不超过L（1<=L<=1,000,000），并且U和V之间不能有收费站（小唐良民一枚，所以要是经过收费站就会停下来交完钱再走）。

DY引擎果然是好东西，但是可惜引擎最多只能用K（0<=K<=30）次。

Input

第一行有6个整数N，M，E，P，L，K分别代表：N个中转点，M个收费站，E条边，P个提示，DY引擎的有效距离L，DY引擎的使用次数K。
接下去E行，每行有3个整数u，v，w（1<=u, v<=N; 1<=w<=1,000,000）表示：u和v之间有一条长度为w的双向边。
接下去P行，每行有3个整数u，v，t（1<=u<=v<=N； 0<=t<=u-v+1）表示： [u, v] 标号区间至少有t个收费站。

Output

输出一个整数，表示小唐从PZU开到ZJU用的最短距离（瞬间转移距离当然是按0来计算的）。

Sample Input

6 2 6 2 5 1

1 2 1

2 3 2

3 6 3

1 4 1

4 5 2

5 6 3

2 5 2

4 6 2

Sample Output

【样例解释】

4、5是收费站。1->2(1)->6(1)

【数据范围】

对于30%的数据保证：

2<=N<=30，max(0, N-10) <=M<=N，0<=k<=10

对于100%的数据保证：

2<=N<=300，max(0, N-100) <=M<=N，E<=50,000，1<=P<=3,000，1<=L<=1,000,000，0<=K<=30

分析

我不是很会图论一类的操作...

参考博客（写的很好）：https://blog.youkuaiyun.com/chen1352/article/details/51736465

还有另一个，帮助理解：https://blog.youkuaiyun.com/HOWARLI/article/details/51685713

这道题的难点主要在求出哪个点有收费站
可以把题目分成两部分：

1.求出哪个点有收费站

这部分用到个很神奇的东西，差分约束系统
设 $S_{i}$ 表示在中转点1~i有多少个收费站，
那么对于每个提示[u，v，t]，
$S_{v}-S_{u-1}\geq C$ ，移项得 $S_{u-1}-S_{v}\leq C$
但这不足以求出所有的s值，那么注意隐藏条件：
$S_{i}-S_{i-1}\geq 0$ ，移项得 $S_{i-1}-Si\leq 0$ ， $S_{i}-S_{i-1}\leq 1$
接着对于一条式子 $a-b\leq c$ ，给b向a连一条权值为c的有向边，搞一遍spfa就可以了（其中 $S_{n}=m$ ）

2.求最短路

先把原图分为k+1层，
搞一遍floyd，求出可以瞬移的路径，
每一层连一条可以瞬移的路径到下一层
spfa完美收场

先存个代码

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
const long long maxlongint=21474836470000;
using namespace std;
long long next[2000000],last[2000000],to[2000000],v[2000000],dis[2000000],d[5000000],f[400][400],re[60000][4];
long long a[400][400];
long long n,m,ans,k,l,e,tot;
bool bz[2000000];
long long bj(long long x,long long y,long long z)
{
    next[++tot]=last[x];
    last[x]=tot;
    to[tot]=y;
    v[tot]=z;
}
long long spfa(long long x,long long y)
{
    memset(bz,true,sizeof(bz));
    memset(dis,60,sizeof(dis));
    long long head=0,tail=1,g;
    dis[x]=y;
    d[1]=x;
    while(head<tail)
    {
        g=d[++head];
        bz[g]=true;
        for(long long i=last[g];i;i=next[i])
        {
            long long j=to[i];
            if(dis[j]>dis[g]+v[i])
            {
                dis[j]=dis[g]+v[i];
                if(bz[j])
                {
                    bz[j]=false;
                    d[++tail]=j;
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    //第一部分
    long long o;
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&e,&o,&l,&k);
    memset(f,60,sizeof(f));
    for(long long i=1;i<=e;i++)
    {
        long long x,y,z;
        scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
        re[i][1]=x;
        re[i][2]=y;
        re[i][3]=z;
        f[x][y]=min(z,f[x][y]);
        f[y][x]=f[x][y];
    }
    for(long long i=1;i<=o;i++)
    {
        long long x,y,z;
        scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
        bj(y,x-1,-z);
    }
    for(long long i=2;i<=n;i++)
    {
        bj(i,i-1,0);
        bj(i-1,i,1);
    }
    spfa(n,m);
    //第二部分
    memset(last,0,sizeof(last));
    tot=0;
    for(long long i=1;i<=e;i++)
    {
        for(long long p=0;p<=k;p++)
        {
            bj(p*n+re[i][1],p*n+re[i][2],re[i][3]);
            bj(p*n+re[i][2],p*n+re[i][1],re[i][3]);
        }
    }
    for(long long i=1;i<=n;i++)
        for(long long j=1;j<=n;j++)
        {
            for(long long p=1;p<=n;p++)
                if(i!=j && j!=p && i!=p && dis[p]-dis[p-1]==0 && dis[p]<=m)
                {
                    if(f[i][p]+f[p][j]<f[i][j])
                        f[i][j]=f[i][p]+f[p][j];
                }

        }
    for(long long i=1;i<=n;i++)
        for(long long j=1;j<=n;j++)
            if(i!=j && f[i][j]<=l)
            {
                for(long long p=0;p<=k-1;p++)
                {
                    bj(p*n+i,(p+1)*n+j,0);
                }
            }
    spfa(1,0);
    ans=maxlongint;
    for(long long i=0;i<=k;i++)
        ans=min(dis[i*n+n],ans);
    printf("%lld\n",ans);
}