迭代算法求解最大公约数，最小公倍数

迭代算法

最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两个整数a, b(假设a>b)的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd (a, b) = gcd (b, a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b。假设d是a,b的一个公约数，则有 a%d==0,b%d==0，而r = a - kb，因此r%d==0 ，因此d是(b,a mod b)的公约数

同理，假设d 是(b,a mod b)的公约数，则 b%d==0,r%d==0 ，但是a = kb +r ，因此d也是(a,b)的公约数。

所以我们得到(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等。

第一种求解

欧几里德算法又叫辗转相除法，它是一个反复迭代执行，直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。其算法用C语言描述为：

int gcd(int a, int b)/*欧几里德算法求a,b的最大公约数*/
{
 if (a<=0 || b<=0)/*预防错误*/
​     	return 0;
  	int temp;//迭代临时变量 
  	while (b > 0)/*b总是表示较小的那个数，若不是则交换a，b的值*/
 	 {
​     	temp = a % b;/*迭代关系式*/
​    	 a = b;
   	  b = temp;
  	}
  	return a;//此时返回的值为a，也就是最大公约数
}

从上面的程序我们可以看到a，b是迭代变量，迭代关系是temp = a % b；根据迭代关系我们可以由旧值推出新值，然后循环执a = b; b = temp；直到迭代过程结束（余数为0）。

第二种求解

​ 1.选出a，b中最小的一个数字放到c中
​ 2.分别用a，b对c求余数，即看是否能被c整除
​ 3.直到a，b同时都能被c整除
​ 4.如不能整除，c– (c的值减一) 继续从2开始执行
​ 5.也就是说该循环的判断条件为 a，b能否同时被c整除，只要有一个数不能被c整除，循环继续执行

while(1){  //设置一个循环，为了避免死循环，也可以使用for 
	scanf("%d %d",&a,&b);
	c = (a>b)?b:a;     //进行交换，保证c为最小值 
	while((a%c != 0) || (b%c != 0))//进行迭代求解，让c为最小公倍数
	/*也可以写成
		for(;c>0;c--)
			if(a%c==0&&b%c==0) printf("%d",c) 
	*/ 
	{
		c--;
	}
	printf("最大公约数为： %d \n",c);
}

补充：

求解最小公倍数

用a*b/c(c为最大公约数)求解就可以得到最小公倍数

交换两值方法

void exchange1(int a,int b){
    int temp;
    temp=a;
    a=b;
    b=temp;
}
void exchange2(int a,int b){
	a = a + b;
	b = a - b;
	a = a + b;
}
void exchange3(int a,int b){
	a = a ^ b;
	b = a ^ b;
	a = a ^ b;
}