计数与概率基础（容斥、有重复元素的全部排列、可重复选择的全排列、杨辉、二项式定理、欧拉函数）

1、容斥原理。

如果班里有15个人喜欢物理，10个人喜欢英语，16个人喜欢数学，那么班里面有多少个人呢？

10+16+15显然是错的，因为存在一个人既喜欢物理也喜欢英语，那么就把这些重复加的人的数量给剪掉。

也就是减去既喜欢物理又喜欢英语的人，既喜欢英语又喜欢数学的人，既喜欢数学又喜欢物理的人，这样就把刚才多加进去的人全部剪掉了，

可是这样既喜欢英语又喜欢数学又喜欢英语的这么一个人，他在这次剪的过程剪了2次，那么就再把喜欢3个科目的人加起来，这就是容斥原理。

也就是|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|。

2、有重复元素的全排列。

给定k个元素，其中第i个元素有ai个，求全排序个数。

令所有n i 之和为n，再设答案为x。首先做全排列，然后把所有元素编号，其中第s种元素
编号为1～n s （例如，有3个a，两个b，先排列成aabba，然后可以编号为a 1 a 3 b 2 b 1 a 2 ）。这样
做以后，由于编号后所有元素均不相同，方案总数为n的全排列数n!。根据乘法原理，得到
了一个方程：n 1 !n 2 !n 3 !…n k x!=n!，移项即可。

也就是先全部都包括在里面，然后把重复的去除。

3、有重复选择的组合。

杨辉三角

二项式定理。

C(K,N)=K/(N-K+1)C(K-1,N)。可以想想为什么有这个公式。

然后可以根据这个公式递推出C(K,N)。

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