向量
记法
列向量
行向量
维度
v = (1,2)
v = (1,2,3)
v = (1,2,3,4)
向量的大小
几何解释
向量运算
向量和标量相乘除
几何解释
向量相加减
几何解释 (三角形法则)
向量加法满足交换率减法不满足交换率(a+b = b+a , c-d != d-c)
标准化向量
向量点成
几何解释
推导过程
假设
a=(ax,ay)
a
=
(
a
x
,
a
y
)
和
b=(bx,by)
b
=
(
b
x
,
b
y
)
都是二维向量，θ1是a与x轴的夹角，θ2是b与x轴的夹角，向量a与b的夹角θ等于θ1 - θ2。
a•b=axbx+ayby
a
•
b
=
a
x
b
x
+
a
y
b
y
=(|a|cosθ1|b|cosθ2)+(|a|sinθ1|b|sinθ2)
=
(
|
a
|
c
o
s
θ
1
|
b
|
c
o
s
θ
2
)
+
(
|
a
|
s
i
n
θ
1
|
b
|
s
i
n
θ
2
)
=|a||b|(cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2)
=
|
a
|
|
b
|
(
c
o
s
θ
1
c
o
s
θ
2
+
s
i
n
θ
1
s
i
n
θ
2
)
=|a||b|(cos(θ1−θ2))
=
|
a
|
|
b
|
(
c
o
s
(
θ
1
−
θ
2
)
)
=|a||b|cosθ
=
|
a
|
|
b
|
c
o
s
θ
向量投影
VⅡ=|VⅡ|n|n|
V
Ⅱ
=
|
V
Ⅱ
|
n
|
n
|
(
n|n|
n
|
n
|
表示向量的方向)
|VⅡ|=|V|cosθ
|
V
Ⅱ
|
=
|
V
|
c
o
s
θ
∵
V•n=|V||n|cosθ
V
•
n
=
|
V
|
|
n
|
c
o
s
θ
∴
cosθ=V•n|V||n|
c
o
s
θ
=
V
•
n
|
V
|
|
n
|
∴
VⅡ=nVn|n|2
V
Ⅱ
=
n
V
n
|
n
|
2
∴
V⊥=V−VⅡ
V
⊥=
V
−
V
Ⅱ
∴
V⊥=V−nVn|n|2
V
⊥=
V
−
n
V
n
|
n
|
2
向量叉乘（a×b）
推导过程
假设 i, j, k 为基向量
a=(u1i,u2j,u3k)
a
=
(
u
1
i
,
u
2
j
,
u
3
k
)
b=(v1i,v2j,v3k)
b
=
(
v
1
i
,
v
2
j
,
v
3
k
)
a×b=(u1i+u2j+u3k)×(v1i+v2j+v3k)
a
×
b
=
(
u
1
i
+
u
2
j
+
u
3
k
)
×
(
v
1
i
+
v
2
j
+
v
3
k
)
=u1v1(i×i)+u1v2(i×j)+u1v3(i×k)+u2v1(j×i)+u2v2(j×j)+u2v3(j×k)+u3v1(k×i)+u3v2(k×j)+u3v3(k×k)
=
u
1
v
1
(
i
×
i
)
+
u
1
v
2
(
i
×
j
)
+
u
1
v
3
(
i
×
k
)
+
u
2
v
1
(
j
×
i
)
+
u
2
v
2
(
j
×
j
)
+
u
2
v
3
(
j
×
k
)
+
u
3
v
1
(
k
×
i
)
+
u
3
v
2
(
k
×
j
)
+
u
3
v
3
(
k
×
k
)
∵
i,j,k为基向量
i
,
j
,
k
为
基
向
量
∴
i×i=j×j=k×k=0
i
×
i
=
j
×
j
=
k
×
k
=
0
∴
i×j=k
i
×
j
=
k
∴
j×k=i
j
×
k
=
i
∴
k×i=j
k
×
i
=
j
∴
j×i=−k
j
×
i
=
−
k
∴
k×j=−i
k
×
j
=
−
i
∴
i×k=−j
i
×
k
=
−
j
∴
a×b=(u2v3−u3v2)i+(u3v1−u1v3)j+(u1v2−u2v1)k
a
×
b
=
(
u
2
v
3
−
u
3
v
2
)
i
+
(
u
3
v
1
−
u
1
v
3
)
j
+
(
u
1
v
2
−
u
2
v
1
)
k
几何解释
|a×b|=|a||b|sinθ
|
a
×
b
|
=
|
a
|
|
b
|
s
i
n
θ
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