二维图形变换的数学基础

平移

将点由 $(x,y)$ 变化为 $(x’,y’)$ ,即$(x+T_x,y+T_y)$ ,用齐次坐标表示为

比例变换

将点 $(x,y)$ 相对于点 $O$ 沿 $x$ 方向缩放$S_x$ 倍,沿$y$ 方向缩放$S_y$ 倍,即变化为$(x\times S_x,y \times S_y)$ 用齐次坐标方程表示为

旋转变换

将点 $(x,y)$ 相对于点 $O$ 旋转 一个角度 $\beta$ (逆时针为正,顺时针为正)所得到的点,用齐次坐标方程表示为

即

反射变换

将某个点 $(x,y)$ 关于原点,或某个坐标轴反射得到的点

• 关于源点反射变化为

  所以变换矩阵为

• 关于$x$坐标反射变换为

  所以变换矩阵为

• 关于$y$ 左标反射变换为

  所以变换矩阵为

错切变换

错切变换我感觉是我最难理解的一种变换,书上的原话是

错切变换是点$P(x,y)$ 沿$x$ 轴和$y$轴发生不等量的变换,得到$P’(x’,y’)$点的过程,坐标变换为

用齐次坐标矩阵表示为

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