计算机组成原理02：机器数表示和校验

本章学习计算机中如何表示基本数据。

目录

机器数分类及其表达方式

定点数

浮点数

机器数的校验

奇偶校验

CRC校验

海明校验

总结：

机器数分类及其表达方式

机器数分为定点数和浮点数。对于机器数，由于使用一串二进制位来表示数据，因此转化方式就决定了不同机器数的特点。机器数的三个主要特点如下：

• 支持数据类型
• 支持数据大小
• 支持数据精度

下面看看定点数和浮点数的区别。

定点数

定点数据一般用于表示整数和定点小数。很明显的，定点数据的支持数据大小和其位数有关。比如高级语言中的32位int数据，可以表示-2^31+1~2^31的数据，而long long 数据则是64位的，表达范围增大。

定点数据有四种表示方式：原码、反码、补码和移码。

1. 原码：最简单的表示方式，使用最高位做符号位，剩余位表示该数大小。虽然表示简单，但是运算相对复杂，而且0的表示不唯一（取8位原码为例，10000000和00000000都可以表示0，一个是+0，一个是-0.）
2. 反码：表示复杂，使用最高位做符号位，当最高位为1时，剩余位为对应原码取反。这样运算相对简单一些，但是0的表示方式依然存在+0和-0两种（11111111和00000000）。
3. 补码：表示复杂，使用最高位做符号位，当最高位为0时和原码相同，为1时剩余位为对应反码+1.这个+1非常重要，因为他简化了计算，这样补码数据就可以直接相加，运算比较简单。（参见下一章“运算方法和运算器”内容）
4. 移码：通常用于表示表示浮点数的阶码。同一个数的移码和补码的符号位相反，剩余位相同，

浮点数

浮点数一般用于表示小数位数不确定的小数。当表示一个浮点数时，整个数据分为三部分：符号位S，阶码部分E和尾数M。其中，符号位S表示该数的正负，阶码E表示这个数的大小，尾数M表示这个数的精度。对于32位单精度浮点数来说，一般E有8位而M有23位，而对于64位双精度浮点数来说，E有11位而M有52位。总的来说，假设浮点数为N，那么其可以用以下公式表示：

         (单精度）

        (双精度）

其中，对于E和M的特殊情况，做出如下规定：

1. 当E=0,M=0时，表示机器0.
2. 当E=0，M≠0时，表示非规格浮点数（需要进行规格化）
3. 当1≤E≤254时，表示规格浮点数
4. 当E=255，M=0时，表示无穷大Inf
5. 当E=255，M≠0时，表示非数值结果NaN

例如：将20.59375转化为32位IEEE754格式的浮点数。

20.59375 = 10100.10011 = 1.010010011 * 2^4

那么可以得到：
S=0
E=10000011
M=01001001100...0
S+E+M既可以得到IEEE754格式的浮点数：
结果化成16进制为：
41A4C000H

机器数的校验

奇偶校验

奇偶校验又分为奇校验和偶校验。其中，偶校验在传输数据中1的数据为偶数时校验位为1，否则为0；奇校验则相反。

奇偶校验有着以下两个特点

• 编码与检错简单
• 编码效率高

但是奇偶校验也有两个非常严重的问题：

• 不能检测偶数位的错误。
• 不能定位错误。
• 改进奇偶校验不能检出顶点位的错误。

下面的例子说明了奇偶校验的特性。红色的是发生错误的编码，但是改进奇偶校验不能检出是在哪一行，只能检出是在哪一列。

奇校验	？					？		行校验位
	0	1	1	0	1	0	0	1
	1	0	1	1	0	1	0	0
	0	0	1	0	1	1	0	1
	1	1	1	0	1	0	1	1
	1	0	0	1	0	1	1	0
	1	0	0	0	1	1	0	1
列校验位	1	0	0	0	1	1	0

奇偶校验主要应用于传输过程中。当使用同步传输时，一般采用奇校验；当使用异步传输时，一般使用偶校验。

CRC校验

假设要校验的信息有k位，而被校验的信息有r位。那么，CRC中的k和r满足下列公式：

所以，CRC校验的第一步是确定r的位数。

第二步：确定生成多项式G(x)：生成多项式必须满足如下需求：

1. 至少有(r+1)位
2. 最高位和最低位均为1
3. 任一位发生错误时，被生成多项式做除后余数不为0
4. 不同位发生错误时，模2的余数不同。

第三步：确定r的具体数值。

现在k位编码逻辑左移r位，使用上商方法除以生成多项式，得到的余数就是r的具体数值。

现在，将k位编码和r位校验码组成新串进行校验，如果编码没有错误，得到的余数应该是0.

第四步：检错

假设出现了错误，生成多项式相除会留下余数，可以对照生成多项式余数对应的错误位来寻找。

CRC校验的硬件实现方式是循环使用异或运算来实现的（当最高位为1时如上）。

海明校验

海明校验相比CRC校验更加的通俗易懂。海明校验校验位数r和待检验串的位数k满足和CRC校验相同的公式。但是这r个校验位的位置不同：这r个校验位分别分布在第2^(i-1) (i=1,2,...,r)上。

假设待校验数据有7位，那么对应海明校验码为4位，他们分布的位置如下：

1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11

第j位的数据被若干个海明位号之和为j的校验位所确定。那么，如何确定海明校验位的数值呢？

海明校验位的数值为对所有其所校验的待检验数据的偶校验确定。

另外设置指错字Gi，来判断哪一位校验位出现了问题。Gi为校验位和其所有校验的原数据位的异或，当Gi为1时，说明校验位出现问题。通过校验位可以指示到底是哪一位出错。

总而言之，海明校验的步骤如下：

1. 求出r
2. 偶校验求出各位校验位数值
3. 校验时，求出对应指错字数值
4. 根据指错字判断是否出错以及出错位置。

下面给出一个例子：

假设原来的数据为： 1011000
那么可以求出对应的海明校验位
p1 = b1^b2^b4^b5^b7 = 0
p2 = b1^b3^b4^b6^b7 = 1
p3 = b2^b3^b4 = 0
p4 = b5^b6Bb7 = 0
那么得到的编码为
01100110000

现在假设b3在传输中出错了，数据变为：
01100010000

那么指示它的校验位p2,p3都会出错,即对应的指错字
G2=1,G3=1
那么有
(G1G2G3G4)=0110 = 6
也就是第六位出错。即b3出错。

海明校验的缺点：

• 海明校验依然只能指出一位的出错。当多位出错时，海明校验无法精确指出。
• 配合使用奇偶校验，海明校验可以分辨一位和两位错误，但是无法分辨1位和3位错误。

总结：

本章学习了机器数分类和表达方式，以及确认数据传输过程中没有错误的三种校验方法。这些表示方式方法是后期机器数计算的基础。而校验则可以减少数据传输错误所带来的不良影响。