沉迷TARJAN无法自拔系列

最近一口气看见了6道TARJAN，没有一道在比赛的时候打对，感觉自己菜哭了。
tarjan这么基础的算法都没能完全掌握，，然后恶补了几天，感觉以后遇见tarjan题应该不会打不出来了（flag高高立起）
这篇博文会全面介绍tarjan的所有用途（选手自己挖掘的不算，我又不知道。）：
1.求有向图的强连通分量
2.求无向图的割顶和桥
3.求无向图的双连通分量
4.判断是否为二分图(其实是dfs的改版，但是思想差不多。)

先讲1：
强连通分量就不予以介绍了，这里只讲怎么求。
tarjan和KOSARAJU不同，他不是用遍历顺序来分离出DFS树中的所有SCC的，而是通过某种手段：
考虑在一个有向连通图中，我们如果能找到一个强连通分量就立即输出的话，我们就能够分离出所有的SCC了，问题就是我们该怎么样找到SCC中的第一个点呢？或者说怎么判断这个点是不是当前SCC的第一个点呢？
其实很简单，我们可以画一个DFS树来显示一下：

在这个图中，我们从节点1开始搜索，设dfn[i]表示访问到节点i时的时间点，low[i]表示节点i及其后代能追溯的最早节点，这个low可能有点难理解，后面会解释：
我们搜的前两个点都很简单，他们都没有反向边连向自己的祖先，所以low[1]=dfn[1]=1,low[2]=dfn[2]=2。
那么问题就出现在第三个点上，所谓反向边就是图中用红色标注出来的边，他把3和1相连，所以low[3]=1，当然3的子孙（如果有的话）的low也是为1.
那么我们为什么要这样干呢？
假设我们从u节点开始遍历，那么如果u的子孙v可以回到u的祖先w，那么u,v,w肯定在一个SCC中，如果u=w则u为SCC中的第一个点否则不是（不管他是或不是，都不影响我们已经存储了这个SCC中的所有节点，即从w-v之间的所有节点），然后把当前存储在栈中的所有元素弹出即可。
标程百度。
2：
这个稍微比上面的简单一些
什么是割顶？就是把这个点去掉以后当前图从连通变为不联通
桥也是一样，只不过桥是边而割顶的点。
怎么求割顶呢？我们仍然需要一个时间戳dfn和low，示例还是用上面的那个图

首先你要知道割顶不可能无祖先且儿子只有一个（去掉了和没去掉一样），这个需要特判。
然后我们就遍历到点2。如果点2为割顶，我们需要满足什么性质呢？设v为点2的子孙如果任意一个v都没有边连到2的祖先（2不算），那么2一定是割点（显然，1和3会断开）。
那么我们如何知道2的子孙有没有边连到2的祖先呢？我们就需要low了，每一次遍历的时候用类似于红色边的边来更新low（low[i]表示i以及其子孙能够追溯到的其祖先的最小的dfn）。
如果u是割点则上述判定条件可以写成low[v]>=dfn[u]
此时有一种特殊状况，如果v的后代只能连回v自己(low[v]>dfn[u]),那么边(u,v)即为桥
代码：

procedure tarjan(x,fa:longint);
var
        i,j,child:longint;
        v:longint;
begin
        inc(time);
        inc(t);
        dfn[x]:=time;
        low[x]:=time;
        vis[x]:=1;
        stack[t]:=x;
        i:=head[x];
        while i<>0 do
        begin
                v:=go[i];
                if dfn[v]=0 then
                begin
                        inc(child);
                        tarjan(v,x);
                        low[x]:=min(low[x],low[v]);
                        if low[v]>=dfn[x] then iscut[x]:=true;
                end
                else
                if (dfn[v]<dfn[x])and(v<>fa) then
                low[x]:=min(low[x],dfn[v]);//反向边更新
                i:=next[i];
        end;
        if (fa<0)and(child=1) then iscut[x]:=0;
end;

3.双连通分量
对于上面求割顶的算法如果很清晰能够随手打出来的话，双联通分量就没有什么难度了。
每一次如果访问到一个割点，那么当前栈内所有的元素都属于一个双连通分量内。直接弹出并存储即可。
记得是存储边而不是点，这很重要。
代码：

procedure tarjan(x:longint);
var
        i,j:longint;
        v:longint;
begin
        inc(t);
        inc(time);
        dfn[x]:=time;
        low[x]:=time;
        stack[t]:=x;
        vis[x]:=1;
        i:=head[x];
        while i<>0 do
        begin
                if vis1[(i+1)div 2]=0 then
                if dfn[go[i]]<>0 then
                begin
                        if vis[go[i]] then
                        low[x]:=min(low[x],dfn[go[i]]);
                end
                else begin
                        vis1[(i+1)div 2]:=true;
                        tarjan(go[i]);
                        low[x]:=min(low[x],go[i]);
                end;
                i:=next[i];
        end;
        if dfn[x]=low[x] then
        begin
                inc(cnt);
                while stack[t+1]<>x do
                begin
                        block[stack[t]]:=cnt;
                        vis[stack[t]]:=0;
                        dec(t);
                end;
        end;
end;

4.二分图
二分图判定：如果对于无向图G(V,E)，可以把节点集分成不相交的两个部分，即X和Y=V-X，使得每条边两个端点一个在X中一个在Y中，则称G为二分图。
另一种等价说法：可以把每个节点着黑白两色，使得每条边的两个端点颜色不同。不难发现，非连通的图是二分图当且仅当它的每个连通分量都为二分图，所以我们只考虑无向连通图。
下面我们用DFS給图进行黑白二着色。首先，总是假设节点0是黑色的，如果你找到了一种让它着白色的方案，只需要把所有节点的颜色反转即可（color[i]=3-color[i]）。就能让0着黑色。
代码:

function pd(x:longint):boolean;
var
        i,v:longint;
begin
        i:=head[x];
        while i<>0 do
        begin
                v:=go[i];
                if color[v]=color[x] then exit(false);
                if color[v]=0 then
                begin
                        color[v]:=3-color[v];
                        if not pd(v) then exit(false);
                end;
                i:=next[i];
        end;
        exit(true);
end;