扩展欧几里得算法

首先推荐两篇比较好的博客

http://blog.youkuaiyun.com/lincifer/article/details/49391175

http://blog.youkuaiyun.com/zhjchengfeng5/article/details/7786595

 

（然后下面便是一个蒟蒻的总结QAQ）

扩展欧几里德算法

基本算法：

　　对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使它们满足贝祖等式： ax + by = gcd(a, b) = d。

证明：

　　设 a > b。

　　1. 显然当 b = 0，gcd (a，b) = a 时， x = 1，y = 0；

　　2. ab != 0 时

　　原式:  ax + by = gcd(a, b)(假设a ≥ b)

• 当 b = 0 时有 gcd(a, b)= a, 此时 x = 1, y = 0

• 当b不为0时, 根据欧几里得定理 gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) 可得 ax + by = gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) = bx′ + (a mod b)y′,

• 即 ax + by = bx′ + (a mod b)y′ = bx′ + (a − b ∗ ⌊a / b⌋)y′  

　　【我们知道 a % b = a - (a / b) * b（这里的 “/” 指的是整除，例如 5 / 2 = 2 , 1 / 3 = 0）】

• 移项得 ax + by = bx′ + (a mod b)y′ = ay′ + b(x′ − ⌊a / b⌋ y′)

　  根据恒等定理,有 

　  x = y′ 

　  y = x′ − ⌊a / b⌋y′

 

　　这有什么用呢? x′ 和 y′ 还是不知道呀.

　　重新来看看我们得到的两个等式.

　　x 和 y 是 gcd(a, b) = ax + by 的解,

　　而 x’ 和 y’ 是在对 gcd(a, b) 按欧几里德算法进行一步后的结果对应的贝祖等式 gcd(b, a mod b) = bx′ + (a mod b)y′ 的解。

　　也就是说, gcd(a, b) 对应的贝祖等式的解 x, y 可以由 gcd(b, a mod b) 对应等式的解 x’, y’ 计算得出。

   　更进一步,对于任意不定式 ax′ + by′ = c, 只需要在等式 ax + by = gcd(a, b) = d 两边乘上 c /d 即可得到解为 x′ = x ∗ c / d, y′ = y ∗ c / d

扩欧代码：

1 viod exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
2     !b ? (x = 1, y = 0) : (exgcd(b, a % b, y, x), y -= (a / b) * x);
3 }

　　

　　扩展欧几里德有什么用处呢？

　　求解形如 a * x +b * y = c 的通解，但是一般没有谁会无聊到让你写出一串通解出来，都是让你在通解中选出一些特殊的解，

　　比如一个数对于另一个数的乘法逆元，什么叫乘法逆元？

     

　　这里，我们称 x 是 a 关于 m 的乘法逆元

　　这怎么求？可以等价于这样的表达式： a * x + m * y = 1

　　看出什么来了吗？没错，当gcd(a , m) != 1 的时候是没有解的。这也是 a * x + b * y = c 有解的充要条件： c % gcd(a , b) == 0

 

　　接着乘法逆元讲，一般，我们能够找到无数组解满足条件，但是一般是让你求解出最小的那组解，怎么做？

　　我们求解出来了一个特殊的解 x0。那么，我们用 x0 % m其实就得到了最小的解了。为什么？

　　可以这样思考：

　　 x 的通解不是 x0 + m * t 吗？

　　那么，也就是说， a 关于 m 的逆元是一个关于 m 同余的，那么根据最小整数原理，一定存在一个最小的正整数，它是 a 关于m 的逆元，而最小的肯定是在（0 , m）之间的，而且只有一个，这就好解释了。

　　可能有人注意到了，这里，我写通解的时候并不是 x0 + (m/gcd)*t ，但是想想一下就明白了，gcd = 1，所以写了跟没写是一样的，但是，由于问题的特殊性，有时候我们得到的特解 x0 是一个负数，还有的时候我们的 m 也是一个负数这怎么办？

　　当 m 是负数的时候，我们取 m 的绝对值就行了，当 x0 是负数的时候，他模上 m 的结果仍然是负数（在计算机计算的结果上是这样的，虽然定义的时候不是这样的），这时候，我们仍然让 x0 对abs(m) 取模，然后结果再加上abs(m) 就行了，于是，我们不难写出下面的代码求解一个数 a 对于另一个数 m 的乘法逆元：

    

　　ZOJ 3609 ：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=4712 求最小逆元

　　ZOJ 3593 http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3593 求最小的步数，处理特殊一点就过去了

　　POJ 1061 http://poj.org/problem?id=1061 青蛙的约会，裸的扩展欧几里得

　　HDU 1576 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1576 做点处理即可

　　HDU 2669 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2669 裸的扩展欧几里得

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	int r,tmp;
	if(!b){x=1;y=0;return a;}
	else{
		r=exgcd(b,a%b,x,y);
		tmp=x;
		x=y;
		y=tmp-a/b*y;
		return r;
	}
} 
int main(){
	int i,j,k,m,n,a,b,x,y,z;
	scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&x,&y);
	z=exgcd(a,b,x,y);
	printf("%d %d %d",z,x,y);
	return 0;
}

输入a和b 输出ax+by=gcd（a，b）的一组解（x，y）

倘若不是求ax+by=gcd(a,b)的解而是求ax+by=c的一组解
先判断 倘若c/gcd(a,b)不是整数那么无解
否则
把原方程求出来的解x，y变成x1,y1，而真正的一组解x，y为x=(c/gcd(a,b))*x1，y=(c/gcd(a,b))*y1