同余模算术

一、基本概念和性质
1、模运算的介绍
模运算即求余运算：在数学中用符号 mod 表示。模 p 运算的定义如下：
给定一个正整数 p，任意一个整数 n，一定存在等式：n=kp+r（k、r 是整数，且 0<=r < p），称 k 为
n 除以 p 的商，r 为 n 除以 p 的余数，记着：r=n mod p。
针对模 p 运算，可以数环来理解：一个圆环有 p 米，并标刻度：0,1,…,p-1：
◆k=n/p：表示一个人在这个环上沿顺时针跑的长总长度 n，k 表
示跑的整圈数；
◆r=a mod p，r 表示这个人最后停留在 r 点上；
2、模算术公式
(a+b) mod p = (a mod p + b mod p) mod p
(a*b) mod p = ((a mod p) * (b mod p)) mod p
(a-b) mod p = ((a mod p)-(b mod p) + p) mod p
在 C++中有求余运算符号’%’，也是求余数功能，但和 mod 有区别，mod 的结果一定是非负数，
而%则不一定，但参与运算的数都是正整数的情况下是等价的。例如：
a%p=(a mod p + p)mod p
%的运算规则是：a%b = a-a/b*b
3、同余的概念
如果 a 和 b 除以 p 的余数相同，则说 a 和 b 关于模 p 同余，