【补题】上帝与集合的正确用法（扩展欧拉定理的简单应用）

最新推荐文章于 2026-01-04 19:40:08 发布

原创最新推荐文章于 2026-01-04 19:40:08 发布 · 600 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#算法

补题同时被 2 个专栏收录

9 篇文章

订阅专栏

数论

6 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一道编程题目，涉及利用扩展欧拉定理解决关于集合的数学问题。当给定数字p时，需要计算2的幂次模p的结果。通过递归应用扩展欧拉定理，可以解决当p与2不互质时的情况，直至欧拉函数值为1。

上帝与集合的正确用法

题目传送门：P4139 上帝与集合的正确用法

题意

给定一个数字 $p$ ，求：

$2^{2^{2^{\cdots}}} \bmod p$

思路

因为可能存在 $p$ 与2不互质的情况，所以要使用扩展欧拉定理。

使用扩展欧拉定理构造一个同余式子：

$2^{2^{2^{\cdots}}} \equiv 2^{ 2^{2^{2^{\cdots}}} \bmod \varphi(p) + \varphi(p) } \pmod p$

如果把上面个那个幂在展开的话，会得到：

$2^{2^{2^{\cdots}}} \equiv 2^{ 2^{2^{2^{\cdots}}} \bmod \varphi(\varphi(p)) + \varphi(\varphi(p)) } \pmod {\varphi(p)}$

仔细看的话，其实就是套娃，一层一层的套娃。因此，可以直接通过递归，一层一层算到欧拉函数为1的时候，返回0。（任何数模1结果都是0）。

代码

一种可行的c++代码。

#include <bits/stdc++.h>
using ll = long long;

inline ll mul(ll a, ll b, ll p) {
    a = (a % p + p) % p;
    b = (b % p + p) % p;
    ll d = static_cast<long double>(a) * b / p;
    d = a * b - d * p;
    if (d < 0)
        d += p;
    if (d > p)
        d -= p;
    return d;
}

inline ll power(ll a, ll i, ll p) {
    ll res = 1 % p;
    while (i) {
        if (i & 1)
            res = mul(res, a, p);
        a = mul(a, a, p);
        i >>= 1;
    }
    return res;
}

const int MAXN = 1e7 + 1;
std::vector<int>prime;
int phi[MAXN];
bool vis[MAXN];

ll work(ll x) {
    if (x == 1)
        return 0;
    return power(2, work(phi[x]) + phi[x], x);
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);

    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= 1e7; ++ i) {
        if (!vis[i]) {
            prime.push_back(i);
            phi[i] = i - 1; 
        }
        for (int j = 0; j < prime.size(); ++ j) {
            if (static_cast<long long>(i) * prime[j] >= 1e7) {
                break;
            }
            vis[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] != 0) {
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
            } else {
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
        }
    }

    int t;
    std::cin >> t;
    while (t --) {
        ll x;
        std::cin >> x;
        std::cout << work(x) << '\n';
    }

    return 0;
}