poj2914-Minimum Cut-Stoer-Wagner算法-优快云博客

本文详细介绍了一种求解图中最小割问题的有效算法。通过逐步解释关键概念如割、最小割及s-t最小割，并配以具体案例分析，帮助读者深入理解最小割算法的工作原理及其应用场景。

割：在一个图G（V，E）中V是点集，E是边集。在E中去掉一个边集C使得G（V，E-C）不连通，C就是图G（V，E）的一个割；

最小割：在G（V，E）的所有割中，边权总和最小的割就是最小割。

求G的任意s-t最小割Min-C（s，t）：

设s，t是途中的两个点且边（s，t）∈E（即s，t之间存在一条边）。如果G的最小割Cut把G分成M，N两个点集

①：如果s∈M，t∈N则Min-C（s，t）= Cut（不讨论）

②：如果s，t∈M（或者s，t∈N）则Min-C（s，t）<= Cut

我们来定义一个Contract(a,b)操作，即把a，b两个点合并，表示为删除节点b，把b的节点信息添加到a上

如下图是做了Contract（5,6）

对于所点v有w(v,5)+=w(v,6)

求s-t最小割的方法

定义w(A,x) = ∑w(v[i],x)，v[i]∈A

定义Ax为在x前加入A的所有点的集合（不包括x）

1.令集合A={a}，a为V中任意点

2.选取V-A中的w(A,x)最大的点x加入集合

3.若|A|=|V|，结束，否则更新w(A,x)，转到2

令倒数第二个加入A的点为s，最后一个加入A的点为t，则s-t最小割为w(At,t)

以Poj (pku) 2914 Minimum Cut

的第三个case为例，图为

G（V，E）

我们设法维护这样的一个w[]，初始化为0；

我们把V-A中的点中w[i]最大的点找出来加入A集合；

V-A直到为空

w[]的情况如下

w[i]	0	1	2	3	4	5	6	7
初始值	0	0	0	0	0	0	0	0
A=A∪{0}	---	1	1	1	1	0	0	0
A=A∪{1}		---	2	2	1	0	0	0
A=A∪{2}			---	3	1	0	0	0
A=A∪{3}				---	1	0	0	1
A=A∪{4}					---	1	1	2
A=A∪{7}						2	2	---
A=A∪{5}						---	3
A=A∪{6}							---

每次w[i]+=∑(i,a)的权值a∈A

记录最后加入A的节点为t=6，倒数第二个加入A的为s=5，则s-t的最小割就为w[s]，在图中体现出来的意思就是5-6的最小割为w[s]=3

然后我们做Contract(s,t)操作，得到下图

G(V’,E’)

重复上述操作

w[i]	0	1	2	3	4	5	7
初始值	0	0	0	0	0	0	0
A=A∪{0}	---	1	1	1	1	0	0
A=A∪{1}		---	2	2	1	0	0
A=A∪{2}			---	3	1	0	0
A=A∪{3}				---	1	0	1
A=A∪{4}					---	2	2
A=A∪{5}						---	4
A=A∪{7}							---

s=5，t=7 s-t最小割是4

Contract(s,t)得到

w[i]	0	1	2	3	4	5
初始值	0	0	0	0	0	0
A=A∪{0}	---	1	1	1	1	0
A=A∪{1}		---	2	2	1	0
A=A∪{2}			---	3	1	0
A=A∪{3}				---	1	1
A=A∪{4}					---	4
A=A∪{5}						---

s=4，t=5 s-t最小割是4

Contract(s,t)得到

w[i]	0	1	2	3	4
初始值	0	0	0	0	0
A=A∪{0}	---	1	1	1	1
A=A∪{1}		---	2	2	1
A=A∪{2}			---	3	1
A=A∪{3}				---	2
A=A∪{4}					---

s=3，t=4 s-t最小割是2，（此时已经得出答案，以下省略）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int w=501;
int map[w][w],set[w],visit[w],value[w],minc;
void search(int &s,int &t,int n)
{
    int i,j,m,k;
    for(i=0;i<=n;i++)
    {
        value[i]=0;
        visit[i]=0;
    }
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        m=-inf;
        for(j=0;j<n;j++)
        {
            if(!set[j]&&!visit[j]&&m<value[j])
            {
                m=value[j];
                k=j;
            }
        }
        visit[k]=1;
        if(t==k) {minc=value[k];return ;}
        s=t;t=k;
        for(j=0;j<n;j++)
        {
            if(!visit[j]&&!set[j])
            {
                value[j]+=map[t][j];
            }
        }
    }
    minc=value[t];

}
int mincut(int n)
{
    int i,j,s,t,ans=inf;
    memset(set,0,sizeof(set));
    for(i=0;i<n-1;i++)
    {
        s=t=-1;
        search(s,t,n);
        set[t]=1;
        ans=min(ans,minc);
        for(j=0;j<n;j++)
        {
            map[s][j]+=map[t][j];
            map[j][s]+=map[j][t];
        }
    }
return ans;
}
int main()
{
    int n,m,i,j,k,t;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        memset(map,0,sizeof(map));
        while(m--)
        {
            scanf("%d%d%d",&i,&j,&k);
            map[i][j]+=k;
            map[j][i]+=k;
        }
        printf("%d\n",mincut(n));
    }
return 0;
}