矩阵的的初步认识

矩阵的乘法运算

typedef vector<int> vi
typedef vector<vi> mat
mat mul(mat A,mat B){
    mat C(sz(A),vi(sz(B[0]));
    for(int i=0;i<sz(A);i++)
        for(int k=0;k<sz(B);k++)
            for(int j=0;j<sz(B[0];j++)
                C[i][j]+=A[i][k]*B[k][j];
    return C;
}

基本性质

乘法结合律： (AB)C=A(BC)
乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC
乘法右分配律：C(A+B)=CA+CB
对数乘的结合性k(AB）=(kA)B=A(kB）
矩阵乘法一般不满足交换律

应用

<1>例如我们要求斐波那契数列的第x项；
我们可以这样构造

有由于乘法结合律所以

typedef vector<int> vi
typedef vector<vi> mat
mat mul(mat A,mat B){
    mat C(sz(A),vi(sz(B[0]));
    for(int i=0;i<sz(A);i++)
        for(int k=0;k<sz(B);k++)
            for(int j=0;j<sz(B[0];j++)
                C[i][j]=1ll*C[i][j]+A[i][k]*B[k][j]%P;
    return C;

}
mat pow(mat A,int n){
    mat C(sz(A),vi(sz(A[0])));
    for(int i=0;i<sz(A);i++)C[i][i]=1;//相当于{1}
    while(n){
        if(n&1)C=mul(A,C);
        A=mul(A,A);
        n>>=1;
    }return C;  
}
int  solve(){
    mat(2,vi(2));
    A[0][0]=1;A[0][1]=1;
    A[1][0]=1;A[1][1]=0;
    A=pow(A,n-1);
    return A[0][0];
}

<2>题意：在一条满是地雷的路上，起点在1处。在N个点处布有地雷，$1<=N<=10$。地雷点的坐标范围每次前进p的概率前进一步，1-p的概率前进2步。问顺利通过这条路的概率。$n$<$1^8$
我们可以把路分成n段即
1~$pos[1]$;
$pos[1]$+1~$pos[2]$;
$pos[2]$+1~$pos[3]$;
…
对于每一段我们一步一步的DP
用$dp[i]$表示走到第i处的可能性
于是可以成功通过这一段的可能性为$1-dp[pos[i]]$

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
struct mat{
    double Mat[2][2];
    mat(){Mat[0][1]=Mat[0][0]=Mat[1][0]=Mat[1][1]=0;}
    mat operator *(const mat&A)const{
        mat B;
        for(int i=0;i<2;i++)
            for(int k=0;k<2;k++)
                for(int j=0;j<2;j++)
                    B.Mat[i][j]+=A.Mat[i][k]*Mat[k][j];
        return B;
    }
};
mat pow(mat a,int n){
    mat ret;
    for(int i=0;i<2;i++)ret.Mat[i][i]=1;
    while(n){
        if(n&1)ret=ret*a;
        a=a*a;
        n>>=1;
    }return ret;
}
int x[30],n;
int main(){
    double p;
    while(~scanf("%d",&n)){
        cin>>p;
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",x+i);
        sort(1+x,1+x+n);
        double ans=1;
        mat tt,nw,tmp;
        tt.Mat[0][0]=p;
        tt.Mat[0][1]=1-p;
        tt.Mat[1][0]=1;
        nw.Mat[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(x[i]==x[i-1])continue;
            tmp=pow(tt,x[i]-x[i-1]-1);
            tmp=nw*tmp;
            ans*=(1-tmp.Mat[0][0]);
        }
        printf("%.7f\n",ans);
    }
    return 0;
}