USACO2013FebruaryGold partition

题目大意。有n*n的牧场，每块上有几头牛，然后可以横着竖着放最多k个栅栏，使得最后每大块中的和的最大值最小
2<=n<=15 1<=k<=2*n-2
sample :
3 2
1 1 2
1 1 2
2 2 4
output
4
(row 2 and 3 line 2ans 3)
solution:
我们可以先枚举竖着断在哪里，这里的复杂度为$O(2^{n-1})$
然后呢，爆搜 搜横着断在哪里。

#include<cstdio>
int n,k,A[20][20],sum[20][20],ans,a[20];
void dfs(int x,int left,int ma){
    if(left==0){
        int last=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)
            if(a[i]){
                int res=sum[i][x]-sum[last][x];
                if(res>ma){
                    ma=res;
                    if(ma>=ans)return ;
                }
                last=i;
            }
        if(ma<ans)ans=ma;
        return ;
    }
    for(int i=x-1;i;--i){
        int last=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(a[j]){
                int res=sum[j][x]-sum[last][x]-sum[j][i]+sum[last][i];
                if(res>ma){
                    ma=res;
                    if(ma>=ans)return ;
                }
                last=j;
            }
        dfs(i,left-1,ma);
    }
}
int main(){
    scanf("%d %d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)
            scanf("%d",&A[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)
            sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]+A[i][j]-sum[i-1][j-1];
    ans=sum[n][n];
    a[n]=1;
    for(int i=(1<<(n-1))-1;~i;--i){
        int cnt=0;
        for(int j=0;j<n-1;j++){
            a[j+1]=i&(1<<j);
            if(a[j+1])cnt++;
        }
        if(cnt+n-1<k||cnt>k)continue;
        dfs(n,k-cnt,0);//此为爆搜，复杂度不可计量
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

正如上诉所言，复杂度不可计量。但是跑到很快，因为有$if(cnt+n-1$<$k||cnt$>$k)continue$
所以还是很快滴。
但是这并非正统。我们要想到dp。
我们已经枚举的横着断在哪里 竖着dp。dp[i][j]表示前i列，建j个。
则转移为$dp[i][j]=min(max(dp[k][j-1]，cost[k+1][i]));$
$ans=min(ans,dp[n][k-cnt])$
初始时 $dp[0][0]=0,else -1;$
复杂度 $cost O(n^3);$
转移 $O(n^2) * O(n)$
总复杂度 $O(2^{n-1}*n^{3})$;
还是贴代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define M 20
int n,k,A[M][M],sum[M][M],ans,a[M];
int dp[M][M],cost[M][M];
int max(int a,int b){return a>b?a:b;}
void chk(int &a,int b){
    if(a==-1||a>b)a=b;
}
int main(){
    scanf("%d %d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)
            scanf("%d",&A[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)
            sum[i][j]=sum[i-1][j]+sum[i][j-1]+A[i][j]-sum[i-1][j-1];
    ans=sum[n][n];
    a[n]=1;
    for(int i=(1<<(n-1))-1;~i;--i){
        int cnt=0;
        for(int j=0;j<n-1;j++){
            a[j+1]=i&(1<<j);
            if(a[j+1])cnt++;
        }
        if(cnt+n-1<k||cnt>k)continue;
        memset(cost,0,sizeof(cost));
        for(int L=1;L<=n;L++)
            for(int R=L;R<=n;++R){
                int s=0;
                for(int i=1;i<=n;++i){
                    s+=sum[i][R]-sum[i-1][R]-sum[i][L-1]+sum[i-1][L-1];
                    if(a[i]){
                        cost[L][R]=max(cost[L][R],s);
                        s=0;
                    }
                }
            }
        memset(dp,-1,sizeof(dp));
        dp[0][0]=0;
        dp[n][0]=cost[1][n];
        for(int j=1;j<n;j++){
            for(int p=1;p<=k-cnt;p++)
                for(int x=0;x<j;x++)
                    if(~dp[x][p-1])
                        chk(dp[j][p],max(dp[x][p-1],cost[x+1][j]));
            if(dp[j][k-cnt]!=-1)chk(dp[n][k-cnt],max(dp[j][k-cnt],cost[j+1][n]));       
        }
        if(dp[n][k-cnt]<ans)ans=dp[n][k-cnt];
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

呵呵，应该可以在化简点，自己想吧。。