MF，PMF算法比较

两者都是推荐算法中的经典算法，在此依照自己的理解描述二者的思想及求解过程，希望以此促进理解二者的联系和区别。

MF 矩阵分解算法

矩阵分解，顾名思义，将一个矩阵分解成多个矩阵相乘的形式，如评分矩阵$R_{i*j}$ 分解成 用户矩阵 $U_{i*k}$ 与物品矩阵$V_{k*j}$ 的乘积。而用户矩阵中的k，代表每个用户i对物品k个属性的偏好程度，物品矩阵中的k，则代表每个物品j具有对应的k个属性的程度。要使得分解后得到的$U_{i*k}$ 和 $V_{k*j}$ 能尽可能还原$R_{i*j}$，即

$$R_{i*j} \approx \hat{R_{i*j}} = U_{ik} \times V_{kj}$$ , 具体地， $R_{i*j}$ 中已有评分值，与 $\hat{R_{i*j}}$中对应位置的值尽可能接近，这样，可以由 $\hat{R_{i*j}}$ 预测 $R_{i*j}$ 中没有值的位置可能的评分。
为了“尽可能接近”，需要对U和V矩阵的值进行训练选择，于是需要设计损失函数，和优化方法。

损失函数

在此，可以选择平方误差函数作为损失函数，即

$$E^2=\sum e_{ij}^2=\sum I_{ij}{{(\hat{R_{ij}} - R_{ij})}^2}=\sum I_{ij}{{(\hat{R_{ij}} -\sum_kU_{ik}V_{kj})}^2}$$
其中 $I_{ij}$ 为指示函数，当 $R_{ij}$ 有评分时则为1，否则为0.

损失函数求解

在此，用梯度下降的方式求解，即

$$\frac{\partial E^2 }{\partial U_{ik}}=-2\sum I_{ij}{(\hat{R_{ij}} -\sum_kU_{ik}V_{kj})V_{kj}}$$
$$\frac{\partial E^2 }{\partial V_{kj}}=-2\sum I_{ij}{(\hat{R_{ij}} -\sum_kU_{ik}V_{kj})U_{ik}}$$
根据梯度，更新变量

U′