搜索排序算法之BM25

        BM25属于bag-of-word（词袋）模型， 是用来计算某一个目标文档（Document）相对于一个查询关键字（Query）的“相关性”（Relevance）的流程。BM25认为：词频和相关性之间的关系是非线性的，具体来说，每一个词对于文档相关性的分数不会超过一个特定的阈值，当词出现的次数达到一个阈值后，其影响不再线性增长，而这个阈值会跟文档本身有关。达到的效果是，某一个单词对最后分数的贡献不会随着词频的增加而无限增加。

算法按照以下3部分来构建

• 单词$q_i$与文档$D$之间的相关性
• 单词$q_i$与query之间的相关性
• 每个单词$q_i$的权重

单词和目标文档的相关性
        tf-idf中，单词和文档的相关性用“词频”表示（关于$tf$和$idf$的计算可以参考文章文本特征提取之TF-IDF），BM25对词频进行了标准化处理，公式如下：

$$score(t{f}_{q_i,D})=\frac{t{f}_{td}\ast (k_1+1)}{t{f}_{td}+k_1\ast (1-b+b\ast \frac{|D|}{avgdl})}$$
其中，$q_i$为query中的第$i$个词， $tf(q_i,D)$为目标文档中$q_i$的词频，$|D|$是文档D的长度，$avgdl$是语料库全部文档的平均长度，$k_1$和$b$是参数。

单词和query的相关性

$$score(t{f}_{q_i,Q})=\frac{(k_2+1)\ast t{f}_{tq}}{k_2+t{f}_{tq}}$$
其中，$t{f}_{tq}$是词项t在查询q中的权重，从上面的公式中可以看到，当词频无限增大时，$score(t{f}_{q_i,D})=k_2+1$

单词权重
        单词的权重最简单的就是用idf值或是其变种，我们用$idf(q_i)$表示单词$q_i$的权重。

合起来公式就是

$$score(D,Q)=\sum _{i=1}^{n}idf(q_i)\ast \frac{t{f}_{td}\ast (k_1+1)}{t{f}_{td}+k_1\ast (1-b+b\ast \frac{|D|}{avgdl})}\ast \frac{(k_2+1)\ast t{f}_{tq}}{k_2+t{f}_{tq}}$$

BM25 在 TF-IDF 的基础上增加了两个可调参数: $k_1$ 和 $b$，分别代表 “词语频率饱和度（term frequency saturation）” 和 “字段长度规约（Field-length normalization）”

• 词语频率饱和度（term frequency saturation）: $k_1$参数的值一般介于 1.2 到 2.0 之间。数值越低则饱和的过程越快速。如果 $k_1$ 取 0，则对应 BIM 模型，document term frequency完全没有影响，如果$k_1$ 取较大值，对应使用原始的 term frequency
• 字段长度归约（Field-length normalization）： 将文档的长度归约化到全部文档的平均长度上。b=1 表示基于文档长度对 term frequency 进行完全的缩放，b=0 表示归一化时不考虑文档长度因素，长文档更有可能排在前面如果查询很长，
• 对于 query term 也可以采用类似的权重计算方法。对查询长度没有进行归一化（相当于b=0）。$k_2=0$ 表示 term frequency in query 并没有影响，(apple apple pie) 和 (apple pie) 完全一样。

参考文档

可插拔的相似度计算
经典检索算法
搜索中的权重度量利器: TF-IDF和BM25