博弈知识小汇(省选复习)

只汇总出OI中常见的博弈定理或结论，不给出证明，需要证明可自行百度。

一：（Nim系列）

① Nim博弈

题设：有n堆石子，第i堆有ai个石子，两人进行游戏，每轮可以选择一堆取出若干石子(>1)，不能取者败。

结论：令 S=a1 xor a2...xor an，若S=0则先手必败，否则先手必胜

② Nim扩展

题设：有n堆石子，第i堆有ai个石子，两人进行游戏，每轮可以选择一堆取出<=m个石子，不能取者败。

结论：让所有ai对m+1取模得到ai'，令S'=a1' xor a2'...xor an'，若S=0先手败，否则先手胜。

③Nim(k)问题

题设：有n堆石子，第i堆有ai个石子，两人进行游戏，每轮可以选择不超过k堆取出若干石子(>1)，不能取者败。

结论：对于每一位，将ai在该位上的值(0或1)求和，对(k+1)取模，若每一位都为0，则先手必败，否则先手必胜。

④anti-Nim(Misere Nim):

题设：有n堆石子，第i堆有ai个石子，两人进行游戏，每轮可以选择一堆取出若干石子(>1)，不能取者胜。

结论：

设先手胜局为S局，先手败局为T局。

定义Si：

S0表示没有一堆石子个数>1的S局

S1表示只有一堆石子个数>1的S局

S2表示有两个或两个以上堆石子个数>1的S局

Ti同理。

显然，S局可以转移到T局或S局，T局只能转移到S局

※有结论：

S0局先手败

S1局先手胜

S2局先手胜

T0局先手胜

T2局先手败

(不存在T1局)

二：（其他）

巴什博弈：Nim拓展的弱化版

题设：只有一堆n个石子，两人进行游戏，每轮可以取<=m颗石子，不能取者胜

结论：根据Nim拓展的结论，当n%m==0时先手败，否则先手胜。

威佐夫博弈：

题设：有两堆石子，石子数分别为n和m，两人进行游戏，每轮可以在某一堆取若干石子，或在两堆中取同样数量的石子，不能取者败。

结论：设n>m，令k=n-m，S=k*( 1+sqrt(5) )/2（向下取整）

   若S==n则先手败，否则先手胜