KLT降维与图像压缩（附MATLAB代码）

KLT简述

KLT (Karhunen-Loeve Transform) 是变换编码 (Transform Coding) 的一种方法，它能够将数据转化为更利于压缩的一种形式，去除数据相关性造成的冗余。KLT一般也称为PCA (Principal Component Analysis) 或者EVD (Eigenvalue Decomposition), 在不同的课程和教材中它们可能有一些差别，但本文将要讲的图像压缩中的KLT指的就是计算图像协方差矩阵，保留较大的特征值和其对应的特征向量的方法。

步骤原理

1. 首先将待处理的图像分割成n个$M\times N$ 的图像块，并将图像块中数据按照从左到右，从上到下的顺序重新排列成一个列向量，每一个列向量长度为$M\times N$，共有$N_T$个这样的列向量，第$i$个列向量为${\mathbf{x}}_{ni}$
   以二维向量为例，假设每一个向量可以表示为${\left[x_1,x_2\right]}^T$,那么可以将这些数据点表示在二维平面内，如下图所示，椭圆内为二维向量分布点。

   
   

2. 数据中心化：$\mathbf{x}={\mathbf{x}}_{ni}-\bar{\mathbf{x}}$ ，其中$\bar{\mathbf{x}}$为所有列向量的均值。可以看作将数据集平移至原点。

   
   

3. 计算协方差矩阵$\mathbf{C}$

   $\mathbf{C}=E\left[\mathbf{x}{\mathbf{x}}^T\right]=$