codevs 天梯 蛇形矩阵 暴力

本文介绍了一个有趣的数字游戏问题解决方案,通过编程实现一个n行n列的数字矩阵,矩阵中心从1开始以逆时针螺旋方式填充数字,并计算矩阵对角线数字之和。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

题目:

小明玩一个数字游戏,取个n行n列数字矩阵(其中n为不超过100的奇数),数字的填补方法为:在矩阵中心从1开始以逆时针方向绕行,逐圈扩大,直到n行n列填满数字,请输出该n行n列正方形矩阵以及其的对角线数字之和.

分析:

水题,暴力求解。

代码:

const
  maxn=100;


var
  a:array[1..maxn,1..maxn] of longint;
  n:longint;


procedure init;
begin
  readln(n);
end;


procedure main;
var
  i,j,k,len,temp,ans:longint;
begin
  k:=1;len:=1;i:=(n+1) div 2;j:=(n+1) div 2;a[i,j]:=1;
  repeat
    inc(j);inc(k);a[i,j]:=k;
    for temp:=1 to len do
      begin
        inc(k);
        dec(i);
        a[i,j]:=k;
      end;
    for temp:=1 to len+1 do
      begin
        inc(k);
        dec(j);
        a[i,j]:=k;
      end;
    for temp:=1 to len+1 do
      begin
        inc(k);
        inc(i);
        a[i,j]:=k;
      end;
    for temp:=1 to len+1 do
      begin
        inc(k);
        inc(j);
        a[i,j]:=k;
      end;
    inc(len,2);
  until len=n;
  ans:=0;
  for i:=1 to n do
    begin
      for j:=1 to n do
        begin
          write(a[i,j],' ');
          if (i=j) or (i+j=n) then
            ans:=ans+a[i,j];
        end;
      writeln;
    end;
  writeln(ans);
end;


begin
  init;
  main;
end.

### 关于团体天梯程序设计竞赛中的吉利矩阵 #### 定义与背景 在一个 \(N \times N\) 的方阵中,如果所有元素均为非负整数,并且每一行和每一列的元素之和均等于某个给定的正整数 \(L\),则该方阵被称为特定条件下的“吉利矩阵”。当 \(N=3\) 且 \(L=7\) 时,这种特殊的 \(3 \times 3\) 方阵有 666 种不同的组合方式[^2]。 #### 解题思路 要解决这个问题的关键在于理解如何枚举并计数符合条件的所有可能矩阵配置。对于任意给定的 \(N\) 和 \(L\): - **边界情况处理**:首先确认输入参数的有效范围,即 \(N\) 应位于区间 [2,4] 内,而 \(L\) 则应在 [2,9] 范围内。 - **暴力求解法**:最直观的方法是对每一个位置上的数值进行穷尽尝试,通过回溯算法来构建完整的矩阵实例,并验证其是否满足各行各列总和为 \(L\) 的约束条件。然而这种方法效率较低,在较大规模下难以接受。 - **优化策略**: - 使用动态规划或记忆化搜索技术减少重复计算; - 对某些特殊情形(比如较小尺寸的矩阵)可以直接给出预计算的结果集; 为了提高性能表现,建议采用更高效的数学模型来进行分析,例如利用线性代数理论或者图论方法寻找规律性的解决方案路径。 #### 实现方法 下面是一个基于 Python 编写的简单实现方案,它采用了递归加剪枝的方式生成候选矩阵,并统计最终符合条件的数量。 ```python from itertools import product def count_magic_matrices(N, L): def is_valid(matrix): # Check row sums and column sums are all equal to L for i in range(N): if sum(matrix[i]) != L or sum(row[i] for row in matrix) != L: return False return True def generate_matrix(current_row=0, current_col=0, partial_matrix=None): nonlocal result_count if not partial_matrix: partial_matrix = [[0]*N for _ in range(N)] if current_row >= N: if is_valid(partial_matrix): result_count += 1 return remaining_sum = (N-current_col)*L-sum(sum(partial_matrix[r][c] for r in range(N))-(partial_matrix[current_row][current_col] if c==current_col else 0) for c in range(N)) possible_values = list(range(min(remaining_sum//max((N-current_col),1)+1,L+1))) for value in possible_values: new_partial_matrix = [row[:] for row in partial_matrix] new_partial_matrix[current_row][current_col] = value next_position = ((current_row+(current_col+1)//N)%N,(current_col+1)%N) generate_matrix(next_position[0],next_position[1],new_partial_matrix) result_count = 0 generate_matrix() return result_count if __name__ == "__main__": print(count_magic_matrices(3, 7)) # Example usage with N=3, L=7 as mentioned. ``` 此代码片段定义了一个函数 `count_magic_matrices` 来接收两个参数——\(N\) 和 \(L\),并通过内部辅助函数完成具体的逻辑运算。注意这里的实现并非最优解,实际应用中可根据具体需求进一步调整优化。
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