H. 蛇形矩阵 Plus 题解【递推找规律】

最新推荐文章于 2022-10-25 01:08:25 发布

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规律

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本文探讨了n阶螺旋方阵行和的计算方法，通过观察和分析，发现了奇数和偶数阶方阵行和的递推规律，提供了一种高效的求解策略。

题意：

输入一个常数n，求出n阶螺旋方阵的每一行的和。

思路：

首先我想到的是直接写一个求螺旋矩阵的程序，把每一行的和直接求出来，但是后来我发现这个题数据很大，这个方法只能过几个用例，所以肯定有特殊的方法求解。于是我们想到了找规律递推一下。

举个例子，先观察n = 9的时候。

对应的蛇形矩阵如下

1 2 3 4 5 6 7 8 9

32 33 34 35 36 37 38 39 10

31 56 57 58 59 60 61 40 11

30 55 72 73 74 75 62 41 12

29 54 71 80 81 76 63 42 13

28 53 70 79 78 77 64 43 14

27 52 69 68 67 66 65 44 15

26 51 50 49 48 47 46 45 16

25 24 23 22 21 20 19 18 17

第一行的和是S1 = 9*10/2=45。(从1加到n，等差数列求和公式)

第二行前8位比第一行多31，第9位多1，S2 = 31*8+1+S1=294

第三行第2位到第7位比第二行多23，第1位少1，后1位多1正好抵消，第8位多1，所以S3 = 23*6+1+S2=433

第四行第3位到第6位比第三行多15，前2位少1，后2位多1正好抵消，第7位多1，所以S4 = 15*4+1+S3=494

第五行第4位到第5位比第三行多7，前3位少1，后3位多1正好抵消，第6位多1，所以S5 = 7*2+1+S4=509

这是上面的前半部分的规律：假设两个变量a,b 从a = 4 * n - 5 (4*9-5=31), b = n - 1 (9-1=8)开始，a依次减8，b依次减2 即

S(n)=S(n-1)+1+a*b

第六行比第五行前4位少1，后4位多1，中间1位少3，S6 = S5-1*3=506

第七行比第六行前3位少1，后3位多1，中间3位少11， S7 = S6 - 3*11=473

第八行比第七行前2位少1，后2位多1，中间5位少19， S8 = S7 - 5*19=378

第九行比第八行前1位少1，后1位多1，中间7位少27， S9 = S8 - 7*27=189

后半部分的规律是从a = 3, b = 1开始，a依次加8， b依次加2 即 S(n)=S(n-1)-a*b

以上是n为奇数的规律，偶数的规律也类似：以n = 6为例：

对应的蛇形矩阵如下

1 2 3 4 5 6

20 21 22 23 24 7

19 32 33 34 25 8

18 31 36 35 26 9

17 30 29 28 27 10

16 15 14 13 12 11

前三行的规律和上面一样，

S1 = 6 * 7 / 2 = 21

S2 = 19 * 5 + 1 + S1=117

S3 = 11 * 3 + 1 + S2=151

即 S(n)=S(n-1)+1+a*b

后三行的规律是

S4 = S3 + 4

S5 = S4 - 2 * 7

S6 = S5 - 4 * 15

多找几组偶数会发现每次都是这样的规律，后半部分的第一行 = <u>前半部分的最后一行 + 4</u>，即 S(n)=S(n-1)+4

然后后面几行的规律都是依次它的上一行减去a*b, a最开始为2，b最开始为7, 之后依次a+=2，b+=8. 即S(n)=S(n-1)-a*b.

所以矩阵分为奇数阶和偶数阶两种情况，并且每种情况还要分为上下两半部分进行计算，差别也是比较小的，注意此题中变量最好全部用 long long ,因为测试数据有一些数据过大会超过 int 。

具体解释看下面代码：

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;//注意用LONG LONG
ll n;
int main()
{
    while(cin >> n)
    {
        if(n%2==1)//n为奇数时
        {
            ll a1 = (n + 1) * n / 2;//等差数列求和公式求出第一行的值
            cout<<a1<<endl;
            ll a = 4 * n - 5, b = n - 1;//a,b初始值
            for(int i = 2; i <= (n + 1) / 2; i++)//前半部分输出
            {
                a1 = a1 + 1 + a * b;
                a -= 8;
                b -= 2;
                cout<<a1<<endl;
            }
            a = 3, b = 1;
            for(int i=(n+1)/2+1 ; i <= n; i++) //后半部分输出
            {
                a1 = a1 - a * b;
                cout<<a1<<endl;
                a += 8;
                b += 2;
            }
        }
        else//n为偶数时
        {
            ll a1 = (n + 1) * n / 2;//输出第一行的值
            cout<<a1<<endl;
            ll a = 4 * n - 5, b = n - 1;//对a和b赋初值
            for(int i = 2; i <= (n + 1) / 2; i++)//前半部分和之前一样的规律
            {
                a1 = a1 + 1 + a * b;
                a -= 8;
                b -= 2;
                cout<<a1<<endl;
            }
            a1 += 4;
            cout<<a1<<endl;//中间的特殊一行直接加 4 规律
            a = 2, b = 7;
            for(int i=(n+1)/2+2; i <= n; i++) //继续后半部分输出
            {
                a1 = a1 - a * b;
                a += 2;
                b += 8;
                cout<<a1<<endl;
            }
        }
    }
    return 0;
}