素数筛选

素数：又称质数（prime number），有无限个。
质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数称为质数。
判断一个数n是否为素数：从2开始到sqrt(n)是否有可以整除n的数，若存在，则不为素数；否则为素数。
时间复杂度：O（sqrt(n)）

题目1047：素数判定
时间限制：1 秒内存限制：32 兆特殊判题：否提交：14099解决：6378
题目描述：
给定一个数n，要求判断其是否为素数（0,1，负数都是非素数）。
输入：
测试数据有多组，每组输入一个数n。
输出：
对于每组输入,若是素数则输出yes，否则输入no。
样例输入：
13
样例输出：
yes

#include <iostream>
#include<math.h>
/* run this program using the console pauser or add your own getch, system("pause") or input loop */
using namespace std;
int n;

bool isPrime(int n){
    bool ans=true;
    int bound=sqrt(n);
    for(int i=2;i<=bound;i++){
        if(n%i == 0){
            ans=false;
            break;
        }
    }
    return ans;
}
int main(int argc, char *argv[]) {
    while(cin>>n){
        if(n>1 && isPrime(n) == true){
            cout<<"yes"<<endl;
        }else{
            cout<<"no"<<endl;
        }
    }

    return 0;
}

素数筛选法：
原理：若一个数不是素数，则必存在一个小于它的素数因子。
当获得一个素数时，即将它所有的倍数进行标记为非素数。
当一个数没有被标记，则表明其为素数。
可能存在一个数没有被标记但是是非素数吗？
假设存在一个非素数N，它没有被标记，即N不存在一个比它小的素数因子，也就是N除了1和N以外没有能够整除N的数，那么N就是个素数，与假设矛盾。因此，不可能存在一个数没有被标记却是非素数。

题目1163：素数
时间限制：1 秒内存限制：32 兆特殊判题：否提交：13205解决：4627
题目描述：
输入一个整数n(2<=n<=10000)，要求输出所有从1到这个整数之间(不包括1和这个整数)个位为1的素数，如果没有则输出-1。
输入：
输入有多组数据。
每组一行，输入n。
输出：
输出所有从1到这个整数之间(不包括1和这个整数)个位为1的素数(素数之间用空格隔开，最后一个素数后面没有空格)，如果没有则输出-1。
样例输入：
100
样例输出：
11 31 41 61 71
来源：
2008年北京航空航天大学计算机研究生机试真题

代码：

#include <iostream>
#define N 10001  //筛选出2-10000之间的所有素数
using namespace std; 
/* 
    输入一个整数n(2<=n<=10000)，
    要求输出所有从1到这个整数之间(不包括1和这个整数)个位为1的素数，
    如果没有则输出-1。
*/

int prime[N];  //保持筛选出的素数
int primelength=0;   //记录筛选出的素数的个数
int mark[N];

void findPrime(){
    //素数筛选
    //1.初始化所有数字都没有被标记 
    for(int i=0;i<N;i++){
        mark[i]=false;
    } 
    //2.开始筛选 
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(mark[i] == true){
            continue;  //该数已经标记了 
        }
        mark[i]=true;  //否则就标记该数
        prime[primelength++]=i; 
        //cout<<i<<endl;
        for(int j=i*i;j<N;j+=i){  //标记i的倍数
            mark[j]=true;
        } 
    }
} 
int main(int argc, char *argv[]) {
    //1.预处理筛选出素数
    findPrime();  
    //2.从筛选出的素数选择出符合条件的素数 
    int n;
    while(cin>>n){
        bool exits=false;  //标记是否有满足条件的素数 
        for(int i=0;i<primelength;i++){
            if(prime[i] < n ){
                if(prime[i]%10 == 1){

                    if(exits == false){ //第一个素数 
                        cout<<prime[i];
                    }else{
                         cout<<" ";
                         cout<<prime[i];
                    }
                    exits=true;
                }
            }else{  //素数已经大于n，则停止 
                break;
            } 
        }

        if(exits == false){
            cout<<"-1";
        }
        cout<<endl;
    } 
    return 0;
}

其中素数筛选的模板为：

#include <iostream>
#define N 10001  //筛选出2-10000之间的所有素数
using namespace std; 
/* 
    输入一个整数n(2<=n<=10000)，
    要求输出所有从1到这个整数之间(不包括1和这个整数)个位为1的素数，
    如果没有则输出-1。
*/

int prime[N];  //保持筛选出的素数
int primelength=0;   //记录筛选出的素数的个数
int mark[N];

void findPrime(){
    //素数筛选
    //1.初始化所有数字都没有被标记 
    for(int i=0;i<N;i++){
        prime[i]=false;
    } 
    //2.开始筛选 
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(mark[i] == true){
            continue;  //该数已经标记了 
        }
        mark[i]=true;  //否则就标记该数
        prime[primelength++]=i; 
        //cout<<i<<endl;
        for(int j=i*i;j<N;j+=i){  //标记i的倍数
            mark[j]=true;
        } 
    }
} 

其中判定i为素数时，标记从i*i开始而不是2*i的原因是
k * i（ k < i ） 的数已经在求得k的素因数的时候标记了。