二分模板

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本文介绍了二分查找的基本原理及应用，包括如何通过二分查找优化搜索过程，并将其应用于求解函数解析式和枚举最优解等场景。此外，还详细解释了二分答案的概念及其在寻找最大值和最小值时的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

二分分为二分查找和二分答案。

二分查找。实际上就是一个有序数列中有一个解，然后搜一遍求这个解。而直接for循环暴搜一遍的话时间复杂度是O（n），而用二分查找可以降低时间复杂度，为O（logn）；而数组形象化出来的话就是0000010000000（0为无解，1为有解），二分就是要找中间的1，即为唯一解。所以开始l和r设为一定是无解的部分，代码如下。

int search(int key) 
{
	int l = 0, r = n + 1  //一定无解
	while(l + 1 < r)
	{
   		int mid = (l + r) >> 1;
   		if(a[mid] == key) return mid;//找到了
   		if(a[mid] > key) r = mid;		
   		else l = mid; 		
	}
	return -1;
}

注：如果求函数解析式的值，只用改while条件是 r-l小于题目最小精度再小两个精度

二分答案是二分查找的推广，即是有很多个解，然后寻找最优解。

一般求最大值就是就是1111100000000。此时r仍然是一定无解，而l则是一定有解的边界（即数组的最小下标）,最后输出l

最小值则返过来是00001111，此时l是无解，r是有解，最后输出r。

下面是1111000情况的代码

int l = 1, r = n + 1;
while(l + 1 < r)
{
   int mid = (l + r) >> 1;
   if(!check(mid)) r=mid; //表示mid不符合题目要求，无解
   else l=mid; 
}
//最终l为解

题目中的运用一般分三类，一是查找某个元素是否存在用二分优化复杂度（前提是有序，要先排序），二是计算函数取值，三是枚举最优解。这三种用法的写法有区别，要注意区分。二分答案用的比较多，一般是在比较mid和key的地方做了手脚，根据题目写个check（mid）函数即可。