二分模板

本文介绍了二分查找的基本原理及应用,包括如何通过二分查找优化搜索过程,并将其应用于求解函数解析式和枚举最优解等场景。此外,还详细解释了二分答案的概念及其在寻找最大值和最小值时的应用。

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二分分为二分查找和二分答案。

 

 

二分查找。实际上就是一个有序数列中有一个解,然后搜一遍求这个解。而直接for循环暴搜一遍的话时间复杂度是On),而用二分查找可以降低时间复杂度,为Ologn);而数组形象化出来的话就是00000100000000为无解,1为有解),二分就是要找中间的1,即为唯一解。所以开始lr设为一定是无解的部分,代码如下。

 

int search(int key) 
{
	int l = 0, r = n + 1  //一定无解
	while(l + 1 < r)
	{
   		int mid = (l + r) >> 1;
   		if(a[mid] == key) return mid;//找到了
   		if(a[mid] > key) r = mid;		
   		else l = mid; 		
	}
	return -1;
}

 

 

 

注:如果求函数解析式的值,只用改while条件是 r-l小于题目最小精度再小两个精度

 

二分答案是二分查找的推广,即是有很多个解,然后寻找最优解。

一般求最大值就是就是1111100000000。此时r仍然是一定无解,而l则是一定有解的边界(即数组的最小下标),最后输出l

 最小值则返过来是00001111,此时l是无解,r是有解,最后输出r

 

下面是1111000情况的代码

 

 

int l = 1, r = n + 1;
while(l + 1 < r)
{
   int mid = (l + r) >> 1;
   if(!check(mid)) r=mid; //表示mid不符合题目要求,无解
   else l=mid; 
}
//最终l为解 

题目中的运用一般分三类,一是查找某个元素是否存在用二分优化复杂度(前提是有序,要先排序),二是计算函数取值三是枚举最优解。这三种用法的写法有区别,要注意区分。二分答案用的比较多,一般是在比较midkey的地方做了手脚,根据题目写个checkmid)函数即可。

 

 

 

 

 

<think>好的,用户想要一个通用的二分法算法模板和实现代码。首先,我需要回顾一下二分查找的基本原理和常见问题。根据用户提供的引用,二分查找的关键在于二段性,而不仅仅是数组有序。这点很重要,可能用户之前认为必须有序,但其实只要满足某种单调性或分界条件就可以用二分。 接下来,用户提到了左右侧查找的需求,比如找到最左或最右边的目标值。引用[4]中给出了右闭左开的例子,但用户可能想要更通用的模板。我需要结合这些引用中的信息,总结出两种常见情况:寻找左边界和右边界,以及基本的查找。 然后,考虑模板的结构。通常二分查找有左闭右闭和左闭右开两种写法,这里需要统一处理。根据引用[4]中的代码,左右边界的处理需要调整mid的计算和左右指针的移动。比如,当找到目标值时,左边界需要继续向左搜索,而右边界则向右搜索。 另外,用户可能需要代码示例,所以得选择一种编程语言,比如Python,因为它比较通用。同时,要确保代码正确处理边界条件,避免死循环,比如在左闭右开区间时,right的初始值应该是数组长度,而循环条件为left < right。 然后,模板需要包括三个部分:基本二分、左边界和右边界查找。每个部分的循环条件、mid计算、指针更新都需要明确。例如,基本二分在找到目标时直接返回,而左右边界查找则继续缩小区间,直到锁定边界。 还要考虑用户可能的疑问,比如如何处理找不到目标的情况,是否需要返回值检查。在代码中添加注释说明返回值的含义,比如左边界返回第一个等于target的位置,找不到则返回-1。 最后,根据用户提供的引用,特别是引用[1]和[4],需要强调二段性的概念,说明模板的适用场景不仅限于有序数组,而是满足特定条件的情况。这可能帮助用户更好地应用模板到不同的问题中。 总结步骤:先介绍通用模板的结构,分三种情况;然后给出Python代码示例,确保语法正确;接着解释每个模板的使用场景和细节;最后根据引用材料说明二段性的重要性,并生成相关问题。</think>### 通用二分法算法模板详解 #### 一、通用二分法核心思想 二分法的本质是通过**二段性**确定搜索范围,而非必须有序数组[^1]。通过比较中间值与目标值的关系,每次将搜索空间缩小一半,时间复杂度为$O(\log n)$[^2]。 #### 二、通用模板分类(Python实现) 以下为三种典型场景的代码模板,涵盖**基本查找、左边界查找、右边界查找**: ```python # 1. 基本二分查找(精确匹配) def binary_search(nums, target): left, right = 0, len(nums) - 1 # 闭区间[left, right] while left <= right: mid = left + (right - left) // 2 # 避免整数溢出 if nums[mid] == target: return mid # 找到目标直接返回 elif nums[mid] < target: left = mid + 1 else: right = mid - 1 return -1 # 未找到 # 2. 左边界查找(第一个>=target的位置) def left_bound(nums, target): left, right = 0, len(nums) # 左闭右开区间[left, right) while left < right: mid = left + (right - left) // 2 if nums[mid] < target: left = mid + 1 else: right = mid # 保持左闭右开特性 return left if left < len(nums) and nums[left] == target else -1 # 3. 右边界查找(最后一个<=target的位置) def right_bound(nums, target): left, right = 0, len(nums) while left < right: mid = left + (right - left) // 2 if nums[mid] > target: right = mid else: left = mid + 1 # 向右压缩搜索空间 return left - 1 if left > 0 and nums[left-1] == target else -1 ``` #### 三、模板选择与使用场景 1. **基本查找**:适用于**存在唯一目标值**的场景,如$[1,3,5,7]$中找5 2. **左边界查找**:适用于处理重复元素或**寻找最小值**,如$[2,2,3,4]$中找第一个2 3. **右边界查找**:适用于寻找最大值或**确定范围上限**,如$[1,2,2,3]$中找最后一个2 #### 四、关键细节说明 1. **循环终止条件**:闭区间用`left <= right`,左闭右开区间用`left < right` 2. **中间值计算**:使用`mid = left + (right - left) // 2`防止整型溢出 3. **边界收缩**:保持区间不变量(如左闭右开区间始终维持`[left, right)`特性) 4. **返回值验证**:最终需检查下标有效性及元素匹配性[^4] #### 五、二段性扩展应用 当数组满足**某个分界条件**时即可使用二分,例如: - 寻找旋转排序数组中的最小值(如$[4,5,6,1,2]$) - 山脉数组找峰值(如$[1,3,5,4,2]$) - 寻找缺失数字等非显式有序问题[^1] $$ \text{二段性条件}: \exists x_0, \forall x < x_0 \text{满足}P(x), \forall x \ge x_0 \text{不满足}P(x) $$
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