MATLAB 两椭圆重合面积的填充与计算

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分类专栏： 个人笔记 Matlab 工作杂活 文章标签： matlab 几何学
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_34122861/article/details/121429870
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本文介绍如何使用MATLAB实现两椭圆重叠部分的近似填充与面积计算，包括利用交点近似填充及蒙特卡罗方法计算面积。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

文章目录

0. 前言

使用MATLAB实现两椭圆重合面积的填充与计算。

1. 准备工作

需要提前掌握的知识如下：

  1. MATLAB绘制圆、椭圆、矩形等基本平面图形
    https://blog.youkuaiyun.com/qq_45384561/article/details/104223407
  2. 根据椭圆中心坐标、长半轴、偏心率和方向角画椭圆
    https://blog.youkuaiyun.com/biubiu_buaa/article/details/71081048?spm=1001.2101.3001.6650.1&utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2defaultBlogCommendFromBaidudefault-1.essearch_pc_relevant&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2defaultBlogCommendFromBaidudefault-1.essearch_pc_relevant
  3. 坐标点的旋转与坐标系的旋转的区别与联系
    https://blog.youkuaiyun.com/qq_39800978/article/details/102698993
  4. 椭圆变换方程（平移+旋转等任意变换）
    https://blog.youkuaiyun.com/qq_41685265/article/details/104267256

2. 两同心椭圆重合面积的近似填充

利用椭圆方程求解得到4个交点，逆时针顺序排序后进行填充。
该填充方式为近似填充，即用四边形近似实际重叠面积。

2.1 代码

% Author: Shaw
% Description: 绘制椭圆交叉面积的函数
% Date: 2021/11/18

function testFill_1118(m,n,A1,B1,phi1,A2,B2,phi2)

    % m:椭圆原点X
    % n:椭圆原点Y

    % A1:椭圆1长轴
    % B1:椭圆1短轴轴
    % phi1:椭圆1绕X轴逆时针旋转角度/°

    % A2:椭圆2长轴
    % B2:椭圆2短轴
    % phi2:椭圆2绕X轴逆时针旋转角度/°

    theta = 0:0.001:2*pi;
    
    % 椭圆参数方程
    xBhat1 =  m + A1 * cos(theta)*cosd(phi1) - B1 * sin(theta) * sind(phi1);
    yBhat1 =  n + A1 * cos(theta)*sind(phi1) + B1 * sin(theta) * cosd(phi1);
    
    xBhat2 =  m + A2 * cos(theta)*cosd(phi2) - B2 * sin(theta) * sind(phi2);
    yBhat2 =  n + A2 * cos(theta)*sind(phi2) + B2 * sin(theta) * cosd(phi2);
    
    % 绘图
    figure
    plot(xBhat1, yBhat1,'r')
    hold on
    plot(xBhat2, yBhat2,'b')
    hold on


    % 求解交点
    syms x y
    
    eq1 = ((x-m)*cosd(phi1) +(y-n)*sind(phi1))^2/A1^2 + (-(x-m)*sind(phi1) +(y-n)*cosd(phi1))^2/B1^2 - 1;
    eq2 = ((x-m)*cosd(phi2) +(y-n)*sind(phi2))^2/A2^2 + (-(x-m)*sind(phi2) +(y-n)*cosd(phi2))^2/B2^2 - 1;


    [xSolve,ySolve]= solve(eq1,eq2);
    
    % 转符号变量为double数
    x0 = double(xSolve);                         
    y0 = double(ySolve);
    
    % 计算交点与椭圆圆心的角度
    thetaCom = atan2d(y0-n,x0-m);

    array = [x0,y0,thetaCom];
    % 依据角度从小到大排列
    % fill指令需要坐标逆时针排序
    arrayProcess = sortrows(array,3);

    % 绘制直线
    line(arrayProcess(:,1),arrayProcess(:,2))
    hold on
    axis equal

    % 填充
    fill(arrayProcess(:,1),arrayProcess(:,2),'g')
end


close all
clear
clc

% m:椭圆原点X
m = 20;
% N:椭圆原点Y
n = 5;

% A1:椭圆1长轴
A1 = 3;
% B1:椭圆1短轴轴
B1 = 1;
% phi1:椭圆1绕X轴逆时针旋转角度/°
phi1 = 45;

% A2:椭圆2长轴
A2 = 5;
% B2:椭圆2短轴
B2 = 2;
% phi2:椭圆2绕X轴逆时针旋转角度/°
phi2 = 120;

testFill_1118(m,n,A1,B1,phi1,A2,B2,phi2)

2.2 近似填充示意图

椭圆的参数见上述代码，绘制的近似填充示意图如下：
在这里插入图片描述

注：
fill函数填充点的坐标顺序必须为逆时针，通过sortrows函数实现各交点与椭圆原点角度的逆时针排序

3. 蒙特卡罗两同心椭圆重合面积的计算及填充

由于近期工作不需要计算重叠面积，所以采用近似的填充方式也可以接受。
如果需要精确计算重叠面积，尤其是不规则图形的重叠面积，则采用蒙特卡罗方法是更好的选择，也能够展现更精确的填充效果！

蒙特卡罗求面积的方法可以理解为：
在比重叠区域面积大的面积为A的区域中随机撒豆子M个，利用重叠面积约束求取所有豆子落在重叠区域上的个数为F，则重叠区域的面积S为

S=A/M*F

“撒豆子”的相关解释可见：
蒙特卡洛算法举例，计算阴影部分面积MATLAB和C语言实现
https://blog.youkuaiyun.com/qq_43530128/article/details/102534301

3.1 代码

% Author: Shaw
% Description: 蒙特卡罗计算椭圆交叉面积，并填充
% Date: 2021/11/20

function area = testMCFill_1120(m,n,A1,B1,phi1,A2,B2,phi2)

    % m:椭圆原点X
    % n:椭圆原点Y

    % A1:椭圆1长轴
    % B1:椭圆1短轴轴
    % phi1:椭圆1绕X轴逆时针旋转角度/°

    % A2:椭圆2长轴
    % B2:椭圆2短轴
    % phi2:椭圆2绕X轴逆时针旋转角度/°
    
    
    theta = 0:0.001:2*pi;

    % 椭圆参数方程
    xBhat1 =  m + A1 * cos(theta)*cosd(phi1) - B1 * sin(theta) * sind(phi1);
    yBhat1 =  n + A1 * cos(theta)*sind(phi1) + B1 * sin(theta) * cosd(phi1);

    xBhat2 =  m + A2 * cos(theta)*cosd(phi2) - B2 * sin(theta) * sind(phi2);
    yBhat2 =  n + A2 * cos(theta)*sind(phi2) + B2 * sin(theta) * cosd(phi2);

    % 绘图
    figure
    plot(xBhat1, yBhat1,'r')
    hold on
    plot(xBhat2, yBhat2,'b')
    hold on
    
    % 计算两椭圆长短轴最大值
    maxLen = max([A1,B1,A2,B2]);
    xmin = m - maxLen;
    ymin = n - maxLen;
    xmax = m + maxLen;
    ymax = n + maxLen;
    
    % 撒豆子个数
    N = 10E7;
    
    % 随机豆子
    xIn = (xmax - xmin) * rand(1,N) + xmin;
    yIn = (ymax - ymin) * rand(1,N) + ymin;
    
    % 椭圆约束
    eqIn1 = ((xIn-m).*cosd(phi1) +(yIn-n).*sind(phi1)).^2/A1^2 + (-(xIn-m).*sind(phi1) +(yIn-n).*cosd(phi1)).^2/B1^2 - 1;
    eqIn2 = ((xIn-m).*cosd(phi2) +(yIn-n).*sind(phi2)).^2/A2^2 + (-(xIn-m).*sind(phi2) +(yIn-n).*cosd(phi2)).^2/B2^2 - 1;
    
    % 在重叠面积内豆子的下标
    index = find(eqIn1<=0 & eqIn2<=0);
    % 重叠面积内豆子的个数
    count = length(index);
    
    % 重叠面积计算
    area = (xmax - xmin) * (ymax - ymin) * count / N;
    
    % 绘制重叠面积
    plot(xIn(index), yIn(index), 'g')
    hold on
    
end

close all
clear
clc

% m:椭圆原点X
m = 20;
% N:椭圆原点Y
n = 5;

% A1:椭圆1长轴
A1 = 3;
% B1:椭圆1短轴轴
B1 = 1;
% phi1:椭圆1绕X轴逆时针旋转角度/°
phi1 = 45;

% A2:椭圆2长轴
A2 = 5;
% B2:椭圆2短轴
B2 = 2;
% phi2:椭圆2绕X轴逆时针旋转角度/°
phi2 = 120;


AREA = testMCFill_1120(m,n,A1,B1,phi1,A2,B2,phi2)

3.2 填充示意图

为方便对比，椭圆的参数同上。绘制的填充示意图如下：
在这里插入图片描述

3.3 其他博客

  1. MATLAB求画出的两个椭圆的相交部分的面积
    https://sa93g4.smartapps.baidu.com/pages/squestion/squestion?qid=1516340021111183740&rid=2892952722&eid=10889&_swebfr=1&_swebFromHost=vivobrowser

该文给我提供了宝贵的改进思路！

该文利用蒙特卡罗方法计算两椭圆重合面积实现的图如下：
在这里插入图片描述

  1. MATLAB蒙特卡洛（Monte Carlo）方法求椭圆面积
    https://blog.youkuaiyun.com/namishizi321/article/details/105945904

该文利用蒙特卡罗方法计算直线和椭圆的交叉面积计算，实现的图如下：
在这里插入图片描述

4. 蒙特卡罗两椭圆重合面积的计算及填充

本文虽然只实现了同心椭圆的重合面积的代码，但不同心的情况只需给函数增加俩参数，修改撒豆子的面积和重叠面积约束即可。

此处只给出一张效果图如下：
在这里插入图片描述

结语

第50篇，这也是近期我最满意的一篇了

从第1篇到现在，已经过了2年8个月。
专业不对口的日子不好过，路漫漫。
祝妈妈生日快乐~

个人水平有限，有问题欢迎各位大神批评指正！

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