Random Walk 挑战程序设计竞赛期望值和方程组

最新推荐文章于 2022-08-15 10:42:05 发布

原创

最新推荐文章于 2022-08-15 10:42:05 发布 · 998 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#挑战程序设计竞赛高斯消元法概率dpRan

博客介绍了《挑战程序设计竞赛》中的一道题目，涉及N*M网格中从(0,0)出发，避开石头到达(N-1,M-1)的期望步数计算。通过设立期望值E(x,y)并建立方程组来解决，当无法到达或遇到石头时，期望步数为0。解题思路包括等概率移动的方程推导和状态转移方程的整数化表示，并给出了代码实现。" 88722499,7358314,Android Studio迁移Eclipse项目问题及解决,"['Android开发', 'Android Studio', 'Eclipse', '项目迁移', 'Gradle']

题目来自《挑战程序设计竞赛》4.1更加复杂的数学问题期望值和方程组

这题其实就是ZJUT 1423，然而ZJUT似乎挂了。。。

1.题目详情

有一个N*M的格子，从(0,0)出发，每一步朝着上下左右四个格子中可以移动的格子等概率的移动。另外有些格子中有石头，因此无法移至这些格子。求第一次到达(N-1,M-1)格子的期望步数。题目假定至少存在一条从(0,0)出发到格子(N-1,M-1)的路径

限制条件

2<=N,M<=10

样例：('#'和'.'分别表示石头和可以移动的格子)

2.解题思路

设E(x,y)表示从格子(x,y)出发，到达终点的期望步数。先考虑从格子(x,y)向上下左右四个方向移动的情况，由于是等概率的，有如下关系:E(x,y)=1/4*E(x-1,y)+1/4*E(x,y+1)+1/4*E(x,y-1)+1/4*E(x+1,y)+1。如果移动不是等概率的，把1/4改成相应的数值就可以了。如果存在不能移动方向，也可以列出类似的式子。此外，当(x,y)=(N-1,M-1)时，有E(N-1,M-1)=0.为了使方程有唯一解，我们令无法到达终点的格子和有石头的格子都有E(x,y)=0。把N*M个方程联立起来就可以求期望步数了。

另外，为了更方便的表示上述状态转移方程，把上式改写成4*E(x,y)-E(x-1,y)-E(x,y+1)-E(x,y-1)-E(x+1,y)=4(把方程整数化)，其中4表示格子(x,y)可以移动的方向的数目(可以上下左右移动，这就很容易理解，代码中的move以及为什么令A[x*M+y][nx*M+ny]=-1了。