【算法基础实验】图论-UnionFind连通性检测之quick-union

Union-Find连通性检测之quick-union

理论基础

在图论和计算机科学中，Union-Find 或并查集是一种用于处理一组元素分成的多个不相交集合（即连通分量）的情况，并能快速回答这组元素中任意两个元素是否在同一集合中的问题。Union-Find 特别适用于连通性问题，例如网络连接问题或确定图的连通分量。

Union-Find 的基本操作

Union-Find 数据结构支持两种基本操作：

1. Union（合并）: 将两个元素所在的集合合并成一个集合。
2. Find（查找）: 确定某个元素属于哪个集合，这通常涉及找到该集合的“代表元素”或“根元素”。

Union-Find 的结构

Union-Find 通常使用一个整数数组来表示，其中每个元素的值指向它的父节点，这样形成了一种树形结构。集合的“根元素”是其自己的父节点。

Union-Find 的优化技术

为了提高效率，Union-Find 实现中常用两种技术：

1. 路径压缩（Path Compression）: 在执行“查找”操作时，使路径上的每个节点都直接连接到根节点，从而压缩查找路径，减少后续操作的时间。
2. 按秩合并（Union by Rank）: 在执行“合并”操作时，总是将较小的树连接到较大的树的根节点上。这里的“秩”可以是树的深度或者树的大小。

应用示例

Union-Find 算法常用于处理动态连通性问题，如网络中的连接/断开问题或者图中连通分量的确定。例如，Kruskal 的最小生成树算法就使用 Union-Find 来选择边，以确保不形成环路。

总结

Union-Find 是解决连通性问题的一种非常高效的数据结构。它能够快速合并集合并快速判断元素之间的连通性。通过路径压缩和按秩合并的优化，Union-Find 在实际应用中可以接近常数时间完成操作。因此，它在算法竞赛、网络连接和社交网络分析等领域有广泛的应用。

数据结构

private int[] id // 分量id（以触点作为索引）
private int count // 分量数量

实验数据和算法流程

本实验使用tinyUF.txt作为实验数据，数据内容如下，一共定义了10对连通性关系

10
4 3
3 8
6 5
9 4
2 1
8 9
5 0
7 2
6 1
1 0
6 7

实验的目的是检测数据中共有多少个连通分量，并打印每个元素所属的连通分量编号

下图展示了处理5和9连通性的一个瞬间

完整流程如下

代码实现

原则是小树挂在大树下，如果一棵高度为1，但是有100个节点的树，要把高度为2的三节点小树挂在这课大树上

可以想象如果反过来，大树挂在小树下，大树的100个节点都将变成高度为3的树枝，这样的话查询的整体成本就太高了

import edu.princeton.cs.algs4.StdOut;
import edu.princeton.cs.algs4.StdIn;

public class myQuickUnion {
   
    private int[] id;
    private int count;
    private int finds;
    private int[] size;
    public myQuickUnion(int N) {
    // 初始化分量id数组
        count = N;
        id = new int[N];
        for (int i = 0; i < N; i++) id[i] = i;
        size = new int[N];
        for (int i = 0; i < N; i++) s