动态规划 过河卒

题目描述

棋盘上A点有一个过河卒,需要走到目标B点。卒行走的规则:可以向下、或者向右。同时在棋盘上C点有一个对方的马,该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为马拦过河卒

棋盘用坐标表示,A(0, 0)B(n, m)(n, m为不超过20的整数),同样马的位置坐标是需要给出的。

现在要求你计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数,假设马的位置是固定不动的,并不是卒走一步马走一步。

输入输出格式

输入格式:

一行四个数据,分别表示B点坐标和马的坐标。

输出格式:

一个数据,表示所有的路径条数。

输入输出样例

输入样例#1 

6 6 3 3

输出样例#1 

6

说明

结果可能很大!

import java.util.Scanner;

public class Main {

	public static void main(String[] args) {
		Scanner rd = new Scanner(System.in);
		int Const[][]={{0,-2,-1,1,2,2,1,-1,-2},{0,1,2,2,1,-1,-2,-2,-1}};
		long DP[][]=new long[21][21];
		DP[0][0]=1;
		int mark[][]=new int[21][21];
		int nx=0,ny=0,hx=0,hy=0;
		nx=rd.nextInt();
		ny=rd.nextInt();
		hx=rd.nextInt();
		hy=rd.nextInt();
	    for(int i=0;i<9;++i)
	        if(hx+Const[0][i]>=0&&hx+Const[0][i]<=nx&&hy+Const[1][i]>=0&&hy+Const[1][i]<=ny)
	            mark[hx+Const[0][i]][hy+Const[1][i]]=1;
		    for(int i=0;i<=nx;++i)
		        for(int j=0;j<=ny;++j) {
		            if(i!=0)               //非左边界
		                DP[i][j]+=DP[i-1][j];
		            if(j!=0)              //非上边界
		                DP[i][j]+=DP[i][j-1];
		            if(mark[i][j]==0)
		            	DP[i][j]*=1;
		            else                  //被马拦截到,路径条数置零
		            	DP[i][j]*=0;
		        }
		    System.out.println(DP[nx][ny]);
	}
}

解释:首先对马所在的点和所有跳跃一步可达的点全部置mark[][]=1;由于卒行走的规则:可以向下、或者向右,设DP i,j为卒从起点走到(i,j) 点所有可行的路径总数,置初始位置(A点 DP[0][0]的值为1,表示初始为(0,0)位置初始路径的条数为1,(通过卒行走的规则可以得出状态转移方程)数组左边界方格的值为其上方方格的值,数组上边界方格的值为其左边方格的值,数组中其余方格的值为其上方方格和左边方格的值相加,当mark[i][j]==1时,使DP[i][j]=0;最终得到达B点,得到A到达B点的路径条数。

注意:结果可能很大!需使用long类型



### 使用C++实现过河问题的动态规划解决方案 #### 问题背景 过河问题是经典的动态规划问题之一,涉及在一个二维网格中寻找从起到终的有效路径数量。然而,在此问题中存在额外约束条件:某些特定被标记为不可访问(由“马”的控制区域决定)。这种情况下,我们需要调整标准的动态规划策略来适应新规则。 #### 解决方案概述 为了处理这个问题,我们采用两步走的方式: 1. 初始化阶段:创建一个二维数组 `dp` 来存储每一个格子可能拥有的不同路径数目; 2. 更新过程:遍历整个棋盘并更新每个单元格的状态值基于之前已经计算出来的结果,同时考虑避开那些受控于敌方单位的位置[^3]。 #### 完整代码示例 ```cpp #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; // 协助计算马所能到达 const int fx[9] = {0, -2, -1, 1, 2, 2, 1, -1, -2}; const int fy[9] = {0, 1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1}; int ax, ay, mx, my; long long f[30][30]; bool v[30][30]; void initialize() { cin >> ax >> ay >> mx >> my; // 将坐标转换成更易于理解的形式 ax++; ay++; mx++; my++; // 设置原的路径数为1 f[1][1] = 1; // 标记马能够走到的所有 v[mx][my] = true; for (int i = 1; i <= 8; ++i) { int newX = mx + fx[i]; int newY = my + fy[i]; if(newX >=1 && newX <=ax && newY>=1&&newY<=ay){ v[newX][newY] = true; } } } void computePaths(){ for(int i=1;i<=ax;i++){ for(int j=1;j<=ay;j++){ // 如果当前是马能走到的地方,则跳过 if(v[i][j]){ continue; } // 计算当前位置可以从上方或左方过来的情况 if(i-1 >=1 ){ f[i][j]+=f[i-1][j]; } if(j-1 >=1 ){ f[i][j]+=f[i][j-1]; } } } } int main(){ initialize(); computePaths(); // 输出最终答案 cout << f[ax][ay]<<endl; return 0; } ``` 上述代码实现了完整的过河问题求解功能,并且遵循了动态规划的核心思想[^4]。 --- ###
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