python生成一组1024与512位数的大素数对

python生成一组二进制1024位和512位数的大质数对

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前些天同学求助： 用python生成一组二进制1024位与512位数的大素数对，要求1024位的质数减一后可以整除512位数，经过两天鏖战后成功，在这里总结一下思路与代码。简单来讲，生成质数对首先要生成质数，之后再成对就ok了，下面分成两部分说明。

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一. 生成大素数

解决这个问题首先需要生成大素数，一个二进制的1024位数大概相当于300位十进制位数，运用穷举法最多可能跑到1亿（9位十进制数）这种单位，300位的大数用我的电脑是不可能跑出来的，所以只能更换算法。

经过查阅，随着数的增大，质数的数量其实是在大幅增多的，而随机生成一个1024位二进制奇数很容易，只要能判断出来这个数是否是质数就可以了，如果不成立的话，在附近不断+2应该很快就能找到了一个质数。根据这个想法，生成大素数的算法分3部：

1.生成伪素数 （把未通过验证的奇数称为伪素数）
2.判断伪素数是否为素数
3.如果不成立，循环判断查找

1.生成伪素数

算法很简单，直接贴代码。

# 其实这个二级制奇数产生代码感觉很冗长，可以优化的很多，欢迎大神指教改进
def proBin(w):  # w表示希望产生位数
    list = []
    list.append(1)  #最高位定为1
    for i in range(w - 2):
        c = randint(0, 1)
        list.append(c)
    list.append(1)
    ls2 = [str(j) for j in list]
    ls3 = ''.join(ls2)
    b = int(ls3[0])
    for i2 in range(len(ls3) - 1):
        b = b << 1
        b = b + int(ls3[i2 + 1])
    d = long(b)
    return d

2.判断伪素数是否为素数

这一部分自己的代码编了好几种都跑不理想，想了很久没什么办法，求助度娘，了解素数测试算法后，最终选择了主流的Miller-Rabin检测。这里贴一段百度知道的简介：

Miller-Rabin检测基于概率测试算法，在构建密码安全体系中占有重要的地位

后面会对Miller-Rabin检测原理做深入介绍，如果不关心数学过程，可以跳过这一部分，直接看代码。

Miller-Rabin检测是Fermat算法加入二次探测定理的一种实现，它的理论基础是由Fermat定理引申而来，这里先介绍Fermat定理。

（1）Fermat 定理

Fermat 定理：p是一个质数（非2），a是任何整数(1≤ a≤n-1) ，则$a^p$ ≡ a(mod p) 或 $a^{p-1}$ ≡ 1(mod p)

$a^p$ ≡ a(mod p) 为 同余符号，表示 $a^p$ mod p = a，也可以理解为$a^p$- a可以被 p整除 ，还可以理解为$a^p$与 a 除以p的余数相等， 除以同余式 a ≡ a (mod p)后得常用结论：

$a^{p-1}$ ≡ 1(mod p)

根据定理，我们可以随机选取一个数a，然后计算 $a^{N-1}$ mod N，观察结果是否为1，如果是1，需要进一步检测，如果不是1，则N一定不是质数。

Fermat定理实现： （这一段参考 blog 蛇小狼）
因为N是300位以上的数字，$a^{N-1}$ mod N并不容易计算，这里介绍一个模运算规则
$a^b$ mod p = ${(a\text{ mod }p)}^b$ mod p
因为a很小，N很大，所以计算$a^N$mod p可以通过递归降幂实现，如果N为偶数:
$a^N$