【算法】M-01主项定理Master Method

原博主链接：http://blog.youkuaiyun.com/rizejin/article/details/5916833

主项定理所需条件：

递归方程如下

T(n) = a * T(n/b) + f(n)

a >= 1, b  > 1, f(n)为简单函数

判断n^log b (a)与h(n)的大小关系

= Θ(h(n)) ：该方法的复杂度为   Θ(h(n)*lg(n))

> Θ(h(n)) ：该方法的复杂度为   Θ(n^(log a/log b))

< Θ(h(n)) ：该方法复杂度为 Θ(h(n))

eg:

T(n) = T(n/2)+1：Θ(log(n))（二分查找）

T(n) = 2T(n/2)+n ：Θ(n*log(n))（归并排序）

n^log b (a)其实相当于用递归树方法解出的递归方程的右侧的第一项，
而f(n)则是递归方程的右侧的第二项，这样，主项定理实际上是在比较组成结果的两个函数项，
而且这种比较是按照数量级（或者说是变化幅度）来比较的，也就是说，如2n 与 28n是
数量级（变化幅度）相当的。

这样就有了三种不同的情形：

1. f(n) < n^log_b^a                

   也就是 f(n) = O(n^log_b^{a -e}) ，e > 0为任意小的常数
   或者说，f(n) 比 n^log_ba变化的慢，慢n^e
   那么，T(n) Î Q (n^log_b^a)

2. f(n) > n^log_b^a          

   也就是 f(n) = W(n^log_b^{a +e}) ，e > 0为任意小的常数
   或者说，f(n) 比 n^log_ba变化的快，快n^e
   那么， T(n) Î Q(f(n))

   可以简单地说，递归方程的右侧的两项，哪项变化的块，T(n)就属于哪项的数量级

3. f(n) = n^log_b^a

   也就是两项的数量级相当，就给这个数量级乘上一个lg n
   
   T(n) Î Q(n^log_b^a * lg n)

 

---

Examples（以下示例来源于网络）:

1. T(n) = 5T(n/2) + Q(n²)

   Case 1: If f(n) = O(n^log_b^{a -e}) for some constant e > 0 then T(n)ÎQ(n^log_b^a)

   Determine: a, b, f(n) and log_ba

   • a = 5

   • b = 2

   • f(n) = Q(n²)

   • log_b a = log₂ 5 ≈ 2.32

   Is f(n) Î O(n^{lg 5 -e}) fore > 0 ?

   Yes. f(n) = Q(n²)Î O(n^{lg 5 -e}) = O(n^{2.32 -e}) fore ≈ 0.32

   T(n) Î Q(n^log₂⁵)

---

2. T(n) = 2T(n/2) + n

Determine: a, b, f(n) and log_b(a)

• a = 2

• b = 2

• f(n) = n

• log_b a = log₂ 2 = lg 2 = 1

Case 3: If f(n) = Q(n^log_b^a) then T(n)Î Q(n^log_b^a lg n)

f(n) = n Î Q(n^log₂²) =Q(n¹)

T(n) Î Q(n^log₂² lg n) =Q(n lg n)

---

3. T(n) = 5T(n/2) + Q(n³)

Determine: a, b, f(n) and log_b(a)

• a = 5

• b = 2

• f(n) = Q(n³)

• log_b a = log₂ 5 ≈ 2.32

Case 2: If f(n) = W(n^log_b^a+e) for some constant e > 0

f(n) = Q(n³)ÎW(n^log₂^5+e) = W(n^2.32+e) fore ≈0.68

and af(n/b) ≤ cf(n) for some constant c < 1 and all sufficiently large n

5(n/2)³ ≤ cn³

5n³/8 ≤ cn³

c = 5/8 < 1

then T(n) Î Q(n³)