人大版统计学教材第六版学习笔记--第5章 概率与概率分布

前言

只了解搜集、整理和描述统计数据的一些基本方法只能实现对统计数据粗浅的利用，与从统计数据中挖掘出规律性的东西相去甚远。

一、随机事件的几个基本概念

1.试验与事件

在同一组条件下，对某事物或现象所进行的观察或实验叫做试验，把观察或试验的结果叫做事件。

例如：丢一颗骰子（正六面体，1-6点）就是一次试验，骰子落地，出现1点、或出现奇数点、点数大于3等都是一个事件。

随机/必然/不可能事件

随机事件random event：也叫偶然事件，指在同一组条件下，每次试验可能出现也可能不出现的事件。
必然事件certain event：在同一组条件下，每次试验一定出现的事件。
不可能事件impossible event：在同一组条件下，每次试验一定不出现的事件。

例如：
丢一颗骰子，落地后点数为奇数是随机事件；
落地后点数小于7是必然事件；
落地后点数大于6是不可能事件。

基本事件/简单事件

随机事件简称事件，用大写字母$A、B、C$等表示。
如果一个事件不能分解成两个或更多个事件，就称这个事件为基本事件elementary event或简单事件。

例如：丢骰子试验中包含6个基本事件，分别为点数为1，点数为2，点数为3，点数为4，点数为5，点数为6.

在一次试验中，只能观察到一个且仅有一个简单事件。
一个试验中所有简单事件的全体成为样本空间或基本空间。

2.事件的概率

possibility：事件$A$的概率$P(A)$是描述事件$A$在试验中出现的可能性大小的一种度量。

概率的古典定义

起源于赌博，如掷骰子、掷硬币等。

古典概型：具有（1）结果有限、（2）各个结果出现的可能性被认为是相同 两个特点的随机试验所研究的问题。
概率的古典定义：事件$A$的概率为该事件所包含的基本事件个数$m$与样本空间中所包含的基本事件个数$n$的比值。

古典概率要求随机试验只有有限个可能的结果，限制了其应用。因此，人们又提出了概率的统计定义。

概率的统计定义

概率的统计定义：根据某一事件在重复试验中发生的频率来确定其概率。
在相同条件下随机试验$n$次，某事件$A$出现$m$，则比值$m/n$称为事件$A$发生的频率。
随着$n$的增大，该频率围绕某一常数$p$上下波动，且波动的幅度变小，趋于稳定，稳定值即为该事件的概率。

因为概率的统计定义要求在相同的条件下进行大量重复试验（两者都很难保证），人们又提出了主观概率的概念。

主观概率定义

主观概率：决策者根据本人掌握的信息对某个事件发生可能性的判断。

根据以往经验、人为确定。不作为本书的重点。

二、概率的性质与运算法则

1.基本性质

概率的公式化定义

对任一随机事件$A$，有$0\le P(A)\le 1$。
必然事件概率$=1$，不可能事件概率$=0$。
若事件$A$与事件$B$互斥，则$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$。可以推广至多个互斥随机事件的概率。

2.加法法则

法则1：两个互斥事件之和的概率=两个事件的概率之和。
法则2：任意两个随机事件，它们和的概率为两个事件分别的概率之和减去两事件相交的概率。

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

3.条件概率与独立事件

条件概率

当某一事件$B$已经发生时，事件$A$发生的概率，称为事件$B$发生条件下事件$A$发生的条件概率conditional probability，记为$P(A|B)$。

由于增加了新的条件（附加信息），一般来说$P(A|B)\ne P(A)$，

乘法公式

$P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)$

独立性

两个事件相互独立：不论哪一个事件发生并不影响另一个事件发生的概率。
相依事件：一个事件发生与否会影响另一个事件的发生。

对于独立性independence事件，有 P ( B ∣ A ) = P ( B ) ， P ( A ∣ B ) = P ( A )