Problem X

本文探讨了如何通过算法计算在有限预算下获取的最大商品价值。借鉴出国选学校的问题解决思路,将申请费用与实际支出分离,通过动态规划方法优化购物策略。

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简单题意

给出手中所拥有的钱,商品能有购买得资格所需要的钱,商品的价格,以及商品对自身的价值,求出最大你能获得的价值

解题思路形成过程

这个和出国选学校的的那个差不多,只不过是把申请资格和实际花费的钱分离了出来。在原先代码改一改就行了。

AC代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<fstream>
using namespace std;
struct node{
    int p,q,v;
}a[505];
bool cmp(node x,node y){
    return x.q-x.p<y.q-y.p;
}
int main(){
    ifstream cin("in.txt");
    freopen("in.txt","r",stdin);
    int n,m;
    int dp[5005];
    while(cin>>n>>m){
        for(int i=0;i<n;i++)cin>>a[i].p>>a[i].q>>a[i].v;
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        sort(a,a+n,cmp);
        for(int i=0;i<n;i++){  
            for(int j=m;j>=a[i].q;j--){
            if(dp[j]<dp[j-a[i].p]+a[i].v)
                dp[j]=dp[j-a[i].p]+a[i].v;
            }  
        }  
        printf("%d\n",dp[m]);    
    }
    return 0;
}

### 对偶问题在优化中的概念 对偶问题是数学优化理论中的一个重要概念,在许多实际应用中具有重要意义。其核心思想在于,任何优化问题都可以通过转换视角来表示为两个相互关联的问题:原始问题(primal problem)和对偶问题(dual problem)。这种关系不仅提供了新的求解途径,还能够帮助分析原问题的性质。 #### 原始问题与对偶问题的关系 在一个标准形式的凸优化问题中,目标是最小化某个函数 \( f(x) \),其中 \( x \in \mathbb{R}^n \) 是决策变量,并受到一组约束条件的影响。通过对该问题引入拉格朗日乘子并构建拉格朗日函数,可以得到对应的对偶问题。具体而言: \[ L(x, \lambda) = f(x) + \sum_{i=1}^{m} \lambda_i g_i(x), \] 这里 \( L(x, \lambda) \) 表示拉格朗日函数,\( \lambda_i \geq 0 \) 是与不等式约束 \( g_i(x) \leq 0 \) 相关的拉格朗日乘子[^1]。 随后定义对偶函数为: \[ g(\lambda) = \inf_x L(x, \lambda). \] 最终形成的对偶问题即为最大化此对偶函数: \[ \max_\lambda g(\lambda), \quad \text{s.t. } \lambda \geq 0. \] 这种方法的核心优势之一是对偶问题通常更易于处理,尤其是在涉及复杂约束的情况下。 #### 平滑化的改进策略 为了进一步提升算法性能,可以通过向拉格朗日项添加一个关于 \( \lambda \) 的二次正则化项实现平滑效果。这一技术被称为“增加不等式约束使 \( \lambda \) 变化更加平稳”,从而改善数值稳定性以及收敛速度[^2]。 以下是基于上述思路的一个简单伪代码框架展示如何调整参数以促进光滑过渡: ```python def optimize_with_smoothing(f, constraints, initial_lambda): lambda_ = initial_lambda while not converged: # 更新拉格朗日乘数时加入二次惩罚项 gradient_update = compute_gradient(lambda_) quadratic_penalty = alpha * (lambda_ ** 2) new_lambda = project_to_nonnegative(lambda_ - learning_rate * (gradient_update + quadratic_penalty)) return lambda_ ``` 在此过程中,`alpha` 控制着正则化强度,而 `project_to_nonnegative` 函数用于确保更新后的 \( \lambda \) 非负性满足要求。 #### 关于带宽线性优化的研究进展 近年来,针对在线学习环境下的带宽线性优化领域也取得了显著成果。例如,《Competing in the Dark: An Efficient Algorithm for Bandit Linear Optimization》一文中提出了高效的随机梯度下降变体,能够在未知损失函数分布的前提下达到接近最优的表现水平[^3]。 这些研究方向表明即使面对高度不确定性的场景下,合理利用对偶结构仍然可以帮助我们设计出强大且实用的解决方案。 ---
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