POJ 2104 K-th Number ——划分树

POJ 2104 题解 ——划分树

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本文是一个系列的第一篇文章。本系列基于上交老师出品的《程序设计解题策略》书籍。该书介绍了49个ACM/ICPC算法设计策略。本系列打算用一个更简单的方式介绍书中的解题策略。当然，针对每个策略，也会给出相应的测试题目及其代码。

划分树算法

问题与复杂度

划分树主要应用于求解整数区间内第k大的数。相关的题目如POJ 2104。划分树整个算法主要分为两个部分：第一部分，建立划分树——时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(nlogn)；第二部分，查找——每次查找的时间复杂度为O(logn)。其中，n表示输入到数组的数据的大小。

建树

划分树的逻辑结构 划分树的逻辑结构是一个（平衡）二叉树，如图1所示。每个结点是一个一位数组。当前结点的两个左右子节点分别存储当前结点中各一半的数据，并且左子结点数组中的所有数据都小于右子结点数组中的所有数据。要注意的是，相对位序是不变的，如图中所示。

图1 划分树的结构

建立划分树，就是使用递归的方法把上面的这个结构给构建出来。下面我们考虑使用什么样的存储结构来表示划分树。

存储结构 由于每个结点是一个数组，因此我们可以使用二维数组来模拟划分树，可表示tree[logN][N]，其中N表示n的最大值。二维数组的第一维表示二叉树的某层，第二维表示某层上的结点。此外，我们还需要一个附加记录toleft[logN][N]来辅助后面的查找操作。toleft[depth][i]表示：在第depth层，从数组toleft[depth]的第1个位置到第i个位置中共有多少个元素被划分到了下一层的左子结点中。

建树代码 从数据存储角度看，建树过程就是对二维数组tree与toleft进行数据填充的过程。C++代码如下：

void buildPartitionTree(int l, int r, int depth){
   
   
    // build partition tree.
    if(l == r) return;
    int mid = (l+r)>>1;
    int leftEquMid = mid - l + 1; // the number of equal to A[mid] that will be partitioned to left

    for(int i=l; i<=r; i++){
   
   
        if(tree[depth][i] < A[mid]){
   
    // A is a array that be sorted by ascending order.
            leftEquMid--;
        }
    }
    int lpos=l, rpos= mid + 1;
    for(int i=l; i<=r; i++){
   
   
        if(tree[depth][i] < A[mid]){
   
   
            tree[depth+1][lpos++] = tree[depth][i];
        }else if(tree[depth][i] == A[mid] && leftEquMid > 0){
   
   
            tree[depth+1][lpos++] = tree[depth][i];
            leftEquMid--;
        }else{
   
   
            tree[depth+1]<