二叉树

完全二叉树和满二叉树：

• 满二叉树是指二叉树每一层的结点数都达到最大值
• 完全二叉树
  • 除了最后一层的其他层的结点数都达到最大值，
  • 最后一层的结点是从左往右的

二叉树的重要性质：

• 二叉树的第$i$层有最多有$2^{i-1}$个结点。
• 深度为$k$的二叉树最多有$2^k-1$个结点。
• 对任意二叉树，如果其叶子结点数为$n_0$,度为2的结点数为$n_2$,则$n_0=n_2+1$。
• 如果对一颗有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号（从第1层到$\lfloor log2n\rfloor +1$层，每层从左到右），则对任意结点$i(1\le i\le n)$，有：
  • 如果$i=1$，则结点是根节点，没有父结点；否则其父结点是$\lfloor log2n\rfloor$;
  • 如果$2i>n$，则结点$i$为叶子结点，无左子结点；否则，其左子结点是结点$2i$
  • 如果$2i+1>n$，则结点$i$无右子叶结点，否则其右子结点是结点$2i+1$。

证明：
1.对任何非空二叉树T，如果$n_0$为树叶节点数，且度数为2的节点数是$n_2$，试证$n_0=n_2+1$.

二叉树，n节点数有n-1条边.

1个节点若度数为2，显然边数为2，那么$n_2$个度数为2的节点的边数为$2n_2$；1个节点若度数为1，显然边数为1，那么$n_1$个度数为1的节点的边数为$n_1$.

设任意二叉树的节点数为n，则$n-1=n_1+2n_2$

而$n=n_0+n_1+n_2$，其中$n_1$是度数为1的节点数.

所以，$n_0=n_2+1$

完全二叉树图示：