铁路调度问题

问题描述：
编号为$1,2,3,...,n$的车厢被拖入堆栈，并可以在任何时候将它拖出。问车厢出栈的方式共有多少种？

问题分析1：
编号为$1,2,3,...,n$的车厢被拖入堆栈，并可以在任何时候将它拖出。例如，n=3，分别有5种出栈方式：123，132，213，231，321。而排列312是不可能发生的，因为堆栈的LIFO原则。

编号为$1,2,3,...,n$的车厢被压入堆栈，设其出栈序号为$P_1,P_2,...,P_n$，则对任意的$P_i$，其后面的序号$P_{i+1},...,P_n$比$P_i$小的编号必逆序。

例如，n=5，125346是不可能发生的。

利用递归分治的思想，可以把问题分为两个部分，一个是第$i$辆车出栈之前的车，一个是第$i$辆车之后的车；前者有$i$辆，后者有$n-i-1$辆。由乘法原理和加法原理，$F(n)=F(0)F(n-1)+F(1)F(n-2)+F(2)F(n-3)+\cdots +F(n-1)F(0)$.

验证一下（$F(0)=1$），
$F(1)=F(0)F(1)=1$
$F(2)=F(0)F(1)+F(1)F(0)=2$
$F(3)=F(0)F(2)+F(1)F(1)+F(2)F(0)=5$
是正确的。

问题分析2：
问题可以化为，所有组合的总数$-$不符合要求的组合的总数.

首先，每一种进出栈的顺序和车编号是一一对应的，如出栈顺序为14532，设进栈为+1，出栈为-1，则进出栈顺序为$+1,-1,+1,+1,+1,-1,+1,-1,-1,-1$.显然，进栈和出栈的次数都是相同的。

故，对n辆列车，进栈和出栈都分别是n次，则：
所有进栈和出栈的组合总数为$C_{2n}^n$.

下面求不符合要求的组合的数目：
在第一次不符合要求的出栈之后，将它之前的所有项都全部取相反数（包括它），例如，无效组合N={+1,−1,+1,−1,−1,⋯ }N=\{+1,-1,+1,-1,-1,\cdots\}N={+1,−1,+1,−1,−1,⋯}，将它取相反数变为M={−1,+1,−1,+1,+1,⋯ }M=\{-1,+1,-1,+1,+1,\cdots\}M={−1,+1,−1,+1,+1,⋯}，则+1项出现次数变为$n+1$，-1项出现次数变为$n-1$，由于取相反数前后的集合$N\to M$是一个一一映射，所以无效组合的总数为$C_{2n}^{n-1}$.

所以，车厢出栈的方式有$C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}=C_{2n}^n/(n+1)$种。

扩展：卡特兰数
$F(n)=F(1)F(n-1)+F(2)F(n-2)+\cdots +F(n-1)F(1).$

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设手持50美分的为+1，手持1美元的为-1
总的组合数为$C_{m+n}^n$

第一次发现无效组合时，例如$+1,-1,-1,\cdots$，将其取相反数，$-1,+1,+1,\cdots$，其中+1项有m+1个，-1项有n-1个，则无效组合数为$C_{m+n}^{n-1} $

所以，排队方式有$C_{m+n}^n-C_{m+n}^{n-1}=\frac{(m+1-n)(m+n)!}{(m+1)!n!}=\frac{m+1-n}{m}{C}_{m+n}^n$种.

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