对原码、反码、补码普遍存在的误解

首先，对于这三个码，你是否是这样理解的？

• 原码是一个有符号数在计算机内的二进制表示，最高位是符号位，最高位是1表示负数，最高位是0表示非负数
• 正数的反码是正数本身，负数的反码是其原码基础上，符号位不变，其他位取反
• 补码=反码+1

如果你是这样理解的，那么读下去，这篇文章将对你大有好处

以上的理解不能说错误，但它只能算是速记口诀，它掩盖了补码真正的内涵，使得我们的理解浮于表面，对进一步学习产生极大困扰。

咱们言归正传，如何正确理解原码、补码、反码？

【以下全部以8位二进制来举例,涉及到的全都是有符号数】

1. 为什么要原码？为什么不止原码？

• 我们日常的计算不仅涉及加法，还有大量的减法，加减法作为基础运算，时刻发生在计算机中，加法运算十分简单，对计算机非常友好；减法运算在我们人类脑中只需要向高位借位即可，但是要理解“借位”，对于计算机可非常不友好。
• 统一加减法，更确切地说，使减法也能以加法的规则来计算，这样计算机就只用进行加法操作，大大提高计算效率。
• 思考：如何使减法以加法的规则来运算？
  1） 这个问题我们熟悉，a-b=a+(-b)
  2）那么加减法问题就转化成了正负数问题，有一个正数，就一定对应一个相反的负数，那么正、负数的个数应该是对半分，把2^8个数分为两半的方法就是，由最高位0开头的为一种，最高位1开头的为一种，这就是原码，原码包含符号位，最高位是1代表负数，最高位是0代表非负数。
  3）最高位是符号位，这是我们规定的，我们知道00000001代表的数字是1,10000001代表的数字是-1，但是电脑可不认账，它还以为10000001表示的是2^7+1，所以必须再找到一种新的办法，使得符号位也参与运算，达到只保留加法的目的。

2. 思考：如果是你，你该如何去寻找这样的方法呢？

• 我们的难题是：如何使减法以加法的方式运行？
• 这个问题反着说：如何用加法的形式实现减法的效果？
  我们中国人讲究中庸之道，因为“水满则溢，月圆则亏”，“若要让其消亡，必先让其膨胀”；我提这些都是为了启发你的思维，想必你一定有些思想苗头了，如果没有，再想想，时间不会倒流，那你手表上的时间为什么周而复始地会出现相同的时刻呢？
• 是的，时钟现在指向6点，要想指向4点，我们可以把时针往回拨2小时（-2），但是我们也可以把时针往前拨动10小时（+10），当我们把8位二进制看做一个首位相连的时钟时，便能够以加法的方式来实现减法的效果。
• 为了便于理解，我们先延续上述时钟的12进制为例，-2被+10取代可以获得同样的效果，我们的先辈就定义10就是-2的反码，也就是用【12-2】来计算-2的反码表示。
• 我么回到8位二进制，这个特殊的时钟，【11111111】就是它的“12点”，对于负数-x，我们定义【11111111-x】来表示-x的反码（需要提示一下，x是正数），取正数a，这样便实现了：a-x=a+(11111111-x)
• 上一点是反码的核心定义与内涵，反码的外在表现形式就是“在原码基础上，符号位不变，其他位取反”，所以我说这顶多算一个速记口诀
• 心中时刻想着时钟（内在原理是取模运算），自然就能理解，我们将反码参与运算时，最高位产生的进位需要加到最低位，因为时钟都是“首位相连”的，这就是反码的运算规则，请牢记。

3. 思考：反码的解决方案你满足了吗？

• 想一想下列问题：
  1）反码【00000000】和【10000000】代表什么数值？
  2）用反码的运算规则，计算一下【01111110】-【00111110】，运算步骤要详细

• 揭晓答案：
  1）【00000000】表示+0；【10000000】表示-0，我们知道+0和-0都是0，但这也的确是反码设计的一个瑕疵
  2）反码运算规则实质上是轮盘式运算，模糊了起点和终点，产生的进位会导致二次计算，这是反码设计的另一个瑕疵

4. 针对反码的缺陷，你能寻找更好的办法来解决吗？

• 针对反码+0，-0的缺陷，我们首先要摒弃时钟周而复始的思想，因为时钟天然存在着首位连接的重叠问题。
• 针对反码二次计算的问题，我们要想办法让最高位不再进位；仔细想想，什么时候需要进位？例如，当计算机面对二进制【10000001】+【01111111】时，如果不进位，舍弃溢出的那一位，那么得到的结果就是【00000000】，请注意，“舍弃” 一词中包含有减法内涵。
  事实是这样：原本最高位存在的【1】和加法进位而来的【1】相加，又产生新的进位，这个进位被舍弃，结果最高位变成【0】
  但我们可以这样解释这个现象：原本存在的【1】和加法进位而来的【1】具有相反的属性，两者抵消，变成【0】，是不是很美妙？
• 由此引出重要的概念：负权位 ，我们把8位二进制的最高位设为负权位，其他位都是正权位，这样就实现了上面所说的相反的属性；也就是最高位的权重是【-2⁷】,其后各位的权重依次是【2⁶】……【2⁰】,习惯上，我们仍然沿用反码的叫法，也称最高位叫作符号位。
• 像这样，最高位是负权位，其他各位都是正权位的二进制码，其各位加和而来的结果为 x（正负均可）, 我们称该二进制码为x的补码
  例如：-3的补码是【11111101】，也就是-2⁷+2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+1=-3
• 那怎么计算负数的补码呢？按照定义来计算太麻烦了，还是以-3为例，补码之所以表现出来的真值为-3，是因为负权位比正权位多了3，那我们令-3的补码加3，其外在表现形式是归为【00000000】，但是我们心里清楚，其实是舍弃了溢出的进位，
  也就是说 2⁸= 3的补码表现形式+3，反过来【3的补码表现形式】=2⁸-3
  对于非负数x，我们用【2^w-x】来计算-x的w位补码表示
• 你还记得-x的反码表示吗？没错是【11111111-x】,因此，在计算表现形式上，我们说补码=反码+1
• 这样补码【10000000】就代表-128；补码【00000000】代表0；这也就是为什么补码的取值范围是[-128,127]，原码和反码的取值范围是[-127,127]

5. 总结

• 现代计算机，都是以补码的方式来运算的，来一个数字x，先根据正负转化成原码，若原码最高位是0，则补码就是其本身；若原码最高位是1，则最高位不变，其他位取反，得到反码，反码只是中间码，是为了得到补码，令反码+1，得到补码，再用补码来运算，计算机底层只需要做二进制的加法即可。
• 反码运算的思想是数学的模运算，是时钟周而复始的思想
• 补码运算巧妙利用了进位溢出，将舍弃进位理解为正负权位的抵消

写在最后：

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