动态规划-背包问题

0-1背包问题

在看0-1背包的问题的时候，有点疑惑，想通了就写下了。
在考虑的i件商品的时候，前面的i-1件肯定在不同容量的情况下都会有对应的最优解。（什么叫不同容量对应的最优解：i-1件前面还有很多件都已经假设有最优解了，之前的每一件都根据背包剩余空间考虑可以拿或者不拿，那么背包剩余多少呢？肯定要对每一种情况分别考虑就是 0到m）
//解释的也过于牵强，太过于抽象
v(i,j) 是在考虑第i件商品时候，且容量为j的时候，背包里的价值。
if，j < w(i) 说明背包剩余空间装不下大小为w(i)的第i件物品，那么肯定不拿。 所以 v(i,j) = v(i-1,j)
else, j>= w(i) 可以考虑拿或这不拿
不拿: v(i,j) = v(i-1,j)
拿： v(i,j) = v(i-1,j-w(i)) + v(i)
我之前一直理解为应该是：j+w(i)，因为拿第i件物品为此需要付出w(i)的容量，所以需要在j的基础上加上w(i)
把这两个式子分析一下，就知道了:
v(i-1,j) 是在考虑第i-1件商品时候，且容量为j的时候，背包里的价值。
v(i-1,j-w(i)) 是在考虑第i-1件商品时候，且容量为j-w(i)的时候，背包里的价值。
为什么是j-w(i), 因为分析过程本来就是逆向的，那么当i拿了且这种情况是最优的，那么拿下一件i-1的空间必定只有j-w(i)可以够分配

假设现在i就是最后一个物品了，如果拿了，那么i-1的最优解肯定是建立空间只有j-w(i)的基础上

  /**
     * dp
     *
     * @param v values
     * @param w weight s
     * @param c total capacity
     */
    int[][] dp(int[] v, int[] w, int c) {
        int n = v.length;
        int[][] arr = new int[n + 1][c + 1];
        for (int i = 0; i <= c; i++) {
            arr[0][i] = 0;
        }

        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            arr[j][0] = 0;
        }

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= c; j++) {
                if (j < w[i - 1]) {
                    arr[i][j] = arr[i - 1][j];
                } else {
                    arr[i][j] = Math.max(arr[i - 1][j], arr[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]);
                }
            }
        }
        return arr;
    }

根据状态转移方程和二维数组结果，逆推路径

    void find(int i, int j, int[][] dp, int[] r, int[] v, int[] w) {
        if (i > 0) {
            if (dp[i][j] == dp[i - 1][j]) {
                r[i-1] = 0;
                find(i - 1, j, dp, r, v, w);
            } else if (dp[i][j] == dp[i - 1][j - w[i-1]] + v[i-1]) {
                r[i-1] = 1;
                find(i - 1, j - w[i-1], dp, r, v, w);
            }
        }
    }

测试方法

        int[] w = {2, 3, 4, 5};
        int[] v = {3, 4, 5, 6};
        int[][] dp = dp(v, w, 8);
        int[] r = new int[4];

        find(4, 8, dp, r, v, w);
        System.out.println(r.length);