HDU3625 第一类斯特林数_hdu 3625-优快云博客

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本文介绍了第一类斯特林数的概念及其递推公式，并通过一个具体的问题实例——基于一定次数限制下开启全部房间门锁的概率计算，展示了斯特林数的实际应用。

第一类斯特林数

把一个包含n个元素的集合分成k个环排列的方法数：
初始值 $S_{(n,0)} = 0,S_{(1,1)} = 1.$
$S_{(n+1,k)}=S_{(n,k-1)}+S_{(n,k)}*n$
假设已经推出了n个元素分成k个环的方法数以及n个元素分成k-1个环的元素，我们考虑第n+1个元素，一种情况是这个元素自己成环，于是是 $S_{(n,k-1)}$ ，另一种情况是把这个元素放到任意一个元素的左边，方案数是 $n*S_{(n,k)}$
大意：
有N个房间，每个房间里有一把钥匙，也可以选择破门而入拿钥匙，第一个房间不允许破门，给定最多破门次数K，求能进入所有房间的概率。
若不考虑第一个房间不允许破门，能全部开门的方案数就是第一类斯特林数 $S_{(n,k)}$ ，但是如果第一个房间的钥匙在第一个房间中的时候是不能完成目的的，这时剩下的n-1个房间中有k-1个环，必须减去。因为最多破坏k次，也就是说可以可以破坏1次，2次…n次。因此答案为：
$\frac{\sum_{i=1}^nS_{(n,i)}-S_{(n-1,i-1)}}{n!}$

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;
const int MAXN = 20+5;
typedef long long LL;
int n,k;
double s[MAXN][MAXN];
void get_s()
{
    s[1][1] = 1.0;
    for(int i = 2; i <= 20; ++i)
        for(int j = 1; j <= i; ++j)
        {
            s[i][j] = s[i-1][j-1] + s[i-1][j]*(i-1);
        }
}
int main()
{
    int t;
    get_s();
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&k);
        double ans = 0.0;
        for(int i = 1; i <= k; ++i)ans += s[n][i] - s[n-1][i-1];
        for(int i = 2; i <= n; ++i)ans /= i;
        printf("%.4f\n",ans);
    }
    return 0;
}