光刻原理—数学基础（1）

该原理参考Fundamental Principles of optical Lithography

数学基础——旋度、散度、梯度

旋度

对于一个向量场F，其旋度表示为：
$$\nabla \times \mathbf{F}(curl\mathbf{F})=(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z})\text{xˆ}+(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x})\text{yˆ}+(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})\text{zˆ}$$

散度

同时对于一个向量场F，其散度表示为：
$$\nabla \cdot \mathbf{F}(div\mathbf{F})=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$$
散度是线性的，即对于标量a，b和向量U，V有:
$$\nabla \cdot （a\mathbf{U}+b\mathbf{V}）=a\nabla \cdot \mathbf{U}+b\nabla \cdot \mathbf{V}$$

梯度

对于一个标量场g,有$$\nabla g=\frac{\partial g}{\partial x}\text{xˆ}+\frac{\partial g}{\partial y}\text{yˆ}+\frac{\partial g}{\partial z}\text{zˆ}$$

拉普拉斯算符

拉普拉斯算符等于对一个量先进行梯度运算再进行散度运算，即，
对于一个标量场g，有：$${\nabla }^{2}g=\nabla \cdot (\nabla g)=\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}g}{\partial z^2}$$
而对于向量场F，有：$${\nabla }^2\mathbf{F}={\nabla }^2{F}_x\text{xˆ}+{\nabla }^2{F}_y\text{yˆ}+{\nabla }^2{F}_z\text{zˆ}$$

相关运算

对于任意的标量场g和向量场F有下面等式成立：$$\nabla \cdot \nabla \times \mathbf{F}=0$$$$\nabla \times \nabla g=0$$$${\nabla }^2\mathbf{F}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{F})-\nabla \times (\nabla \times \mathbf{F})$$$$\nabla \cdot (g\mathbf{F})=g\nabla \cdot \mathbf{F}-\nabla g\cdot \mathbf{F}$$$$\nabla \times (g\mathbf{F})=g\nabla \times \mathbf{F}-\nabla g\times \mathbf{F}$$

球坐标系下的旋度、散度、梯度

球坐标下的向量被表示为$(r,\theta ,\varphi )$,r为向量的长度，$\theta$是向量与Z轴的夹角，$\varphi$是向量与x-z平面的夹角，球坐标与笛卡尔坐标的转换为$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$$$\theta =co{s}^{-1}(\frac{z}{r})$$$$\varphi =ta{n}^{-1}(\frac{y}{x})$$或者$$x=rsin\theta cos\varphi$$$$y=rsin\theta sin\varphi$$$$z=rcos\theta$$

旋度

对于向量场F有$$\nabla \times \mathbf{F}=\frac{1}{rsin\theta }(\frac{\partial }{\partial \theta }(F_{\theta }sin\theta )-\frac{\partial F_{\varphi }}{\partial \theta })\text{rˆ}+(\frac{1}{rsin\theta }\frac{\partial F_r}{\partial \varphi }-\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r{F}_{\varphi }))\text{θˆ}+\frac{1}{r}(\frac{\partial }{\partial r}(r{F}_{\theta })-\frac{\partial F_r}{\partial \theta })\text{ϕˆ}$$

散度

对于向量场F有:$$\nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^2{F}_r)+\frac{1}{rsin\theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(F_{\theta }sin\theta )+\frac{1}{rsin\theta }\frac{\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }$$

梯度

对于一个标量g有$$\nabla g=\frac{\partial g}{\partial r}\text{rˆ}+\frac{1}{r}\frac{\partial g}{\partial \theta }\text{θˆ}+\frac{1}{rsin\theta }\frac{\partial g}{\partial \varphi }\text{ϕˆ}$$

拉普拉斯算符

对于一个标量g有$${\nabla }^{2}g=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^2\frac{\partial g}{\partial r})+\frac{1}{r^{2}sin\theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(sin\theta \frac{\partial g}{\partial \theta })+\frac{1}{r^{2}si{n}^2\theta }\frac{{\partial }^{2}g}{\partial {\varphi }^2}$$

麦克斯韦方程和波动方程

麦克斯韦方程组一般用于电磁波的表示：
$$\nabla \times \mathbf{H}-\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}=\mathbf{J}$$ $$\nabla \times \mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=0$$ $$\nabla \cdot \mathbf{D}=\rho$$$$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$$其中E为电场，H为磁场，都是向量场。而D为电位移矢量，B为磁感应强度，J为电流密度矢量，ρ为标量电荷密度。
物质方程为：$$\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}$$$$\mathbf{D}=\epsilon \mathbf{E}$$$$\mathbf{B}=\mu \mathbf{H}$$其中σ为材料的导电率，ε为介电常数，μ为磁导率，对于各向异性的材料，这三个量通常是张量。而对于均匀的材料，其导电率，介电常数，磁导率与位置无关。所以可以将物质方程带入麦克斯韦方程，重写麦克斯韦方程为：$$\nabla \times \mathbf{H}-\epsilon \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=\sigma \mathbf{E}$$$$\nabla \times \mathbf{E}+\mu \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t}=0$$
同时有$$\nabla \cdot \epsilon \mathbf{E}=\rho$$对于透光的材料来说，一般可以认为其电荷密度ρ=0时，这时有$$\nabla \cdot \mathbf{E}=0$$所以有:$${\nabla }^2\mathbf{E}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{E})-\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})=-\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E})$$对重写的麦克斯韦方程两边同时求旋度，有：$${\nabla }^2\mathbf{E}=\epsilon \mu \frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}+\mu \sigma \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\text{\hspace{1em}(公式1)}$$$${\nabla }^2\mathbf{H}=\epsilon \mu \frac{{\partial }^2\mathbf{H}}{\partial t^2}+\mu \sigma \frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t}$$同时对于非吸收介质有σ=0，所以有：$${\nabla }^2\mathbf{E}=\frac{1}{{\nu }^2}\frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}$$$${\nabla }^2\mathbf{H}=\frac{1}{{\nu }^2}\frac{{\partial }^2\mathbf{H}}{\partial t^2}$$其中ν为光速，表示为：$$\nu =\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu }}$$μ0为真空中的磁导率，​ε0为真空中的介电常数，真空中的光速为：$$c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}$$材料的折射率被定义为$$n=\frac{c}{\nu }=\sqrt{\frac{\epsilon \mu }{{\epsilon }_0{\mu }_0}}$$同时定义相对磁导率${\mu }_r$和相对介电常数${\epsilon }_r$为:$${\mu }_r=\frac{\mu }{{\mu }_0}$$$${\epsilon }_r=\frac{\epsilon }{{\epsilon }_0}$$所以折射率也可以写作$n=\sqrt{{\mu }_r{\epsilon }_r}$。

亥姆霍兹方程

我们一般用电场$\mathbf{E}$来描述光，对于一束单色光的电场$\mathbf{E}$在任意时刻t和任意位置$\mathbf{P}$处被表示为$$\mathbf{E}(\mathbf{P},t)=A(\mathbf{P})cos(wt+\Phi (\mathbf{P}))=Re(\mathbf{U}(\mathbf{P})e^{-iwt})\text{\hspace{1em}(公式2)}$$其中$$\mathbf{U}(\mathbf{P})=A(\mathbf{P})e^{-i\varphi (\mathbf{P})}$$这里的$\mathbf{U}(\mathbf{P})$叫做相量，注意到其是一个与时间无关的量。如果假定光在传播的过程中，它的频率不发生变化，那么光的传播、干涉与其他物体相互作用可以认为与时间无关。为了将电场$\mathbf{E}$中的时间变量分离出来，我们将公式2带入公式1中，则有：$${\nabla }^2\mathbf{E}=\epsilon \mu \frac{{\partial }^2\mathbf{E}}{\partial t^2}+\mu \sigma \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=-w^2\epsilon \mu \mathbf{E}-iw\mu \sigma \mathbf{E}\text{\hspace{1em}(公式3)}$$在公式3中等式左右两边都要一个$e^{-iwt}$,同时除以它，得到一个与时间无关的方程$${\nabla }^2\mathbf{U}=-w^2\epsilon \mu \mathbf{U}-iw\mu \sigma \mathbf{U}\text{\hspace{1em}(公式4)}$$将公式4改写一下，得到亥姆霍兹方程（Helmholtz equation)$${\nabla }^2\mathbf{U}+k^2\mathbf{U}(\mathbf{P})=0\text{\hspace{1em}(公式5)}$$其中k叫做传播常数或波数$$k^2=w^2\epsilon \mu +iw\mu \sigma$$如果材料的电导率$\sigma =0$,则$$k=w\sqrt{\epsilon \mu }=2\pi n/\lambda$$其中$\lambda$为光的波长。对于导电率不为0的材料的折射率是一个复折射率，定义为：$${\mathbf{n}}^2=\frac{c}{v}=\frac{k^2{\lambda }^2}{4{\pi }^2}=\mu c^2(\epsilon +i\frac{\sigma }{w})$$即$$\mathbf{n}=n+i\kappa$$其中$$n^2=\frac{1}{2}\mu c^2\epsilon (\sqrt{1+(\frac{\sigma }{\epsilon w}{)}^2})+1$$$${\kappa }^2=\frac{1}{2}\mu c^2\epsilon (\sqrt{1+(\frac{\sigma }{\epsilon w}{)}^2})-1$$当导电率$\sigma =0$时有,$\kappa =0$和$\mathbf{n}=n$。对于弱吸收材料，即$\sigma /\epsilon w\ll 1$,则上式可以近似的写做:$$n\approx c\sqrt{\mu \epsilon }=\sqrt{{\mu }_r{\epsilon }_r}$$$$\kappa \approx \frac{c\sigma }{2w}\sqrt{\frac{\mu }{\epsilon }}=\frac{\lambda \sigma }{4\pi }\sqrt{\frac{\mu }{\epsilon }}$$