题目描述:
给定一个整数数组 nums,按要求返回一个新数组 counts。数组 counts 有该性质:
counts[i]
的值是nums[i]
右侧小于nums[i]
的元素的数量。
示例:
输入: [5,2,6,1] 输出: [2,1,1,0] 解释: 5 的右侧有 2 个更小的元素 (2 和 1). 2 的右侧仅有 1 个更小的元素 (1). 6 的右侧有 1 个更小的元素 (1). 1 的右侧有 0 个更小的元素.
题解:
使用分治思想计算右侧小于当前元素的个数
归并排序是最典型的分治算法,在归并排序排序的基础上实现:计算右侧小于当前元素的个数
思路:
要计算某个元素后面比它小的个数,实际上可以统计在归并排序过程中,合并两个有序数组时,从右侧转到左侧元素的个数(即右侧比左侧元素小的个数)。
在 merge 中,如果右半部的数组指针指向的位置为 j,左半部数组指针指向了 i,如果 left[i] <= right[j],则说明 right[0...j](假设j下标0开始)中所有的元素,都是从 arr[x] 的右侧转移到 arr[x] 左侧的。x 表示 left[i] 元素在原数组中的位置。
因为涉及到元素在原数组中的位置故需要先保存元素的位置
代码:
class Solution:
def countSmaller(self, nums: List[int]) -> List[int]:
vec = []
# 记录每个元素的下标
for index, num in enumerate(nums):
vec.append([num, index])
# 初始化结果数组
self.result = [0]*len(nums)
def merge_sort(nums, L, R):
if L >= R:
return
mid = L + (R - L) // 2
merge_sort(nums, L, mid)
merge_sort(nums, mid+1, R)
i, j = L, mid + 1
# j-mid-1 相当于j到j=mid+1时中间的元素个数
while i <= mid and j <= R:
if nums[i][0] <= nums[j][0]:
# nums[i][1] 为初始数组中下标
self.result[nums[i][1]] += j - mid - 1
i += 1
else:
j += 1
# 左边数组是排序好的,故下标为i以后的元素均需要加
for k in range(i, mid+1):
self.result[nums[k][1]] += j - mid - 1
# 排序
nums[L:R+1] = sorted(nums[L:R+1])
merge_sort(vec, 0, len(nums)-1)
return self.result
代码段解释:
举例:
1. [5, 3, 6, 1] => 最后一次合并时的情况: 左数组left = [ [5, 0] ], 右数组right = [ [1, 3], [6, 2] ] (其中第二维为数组原下标)
当 5 < 6 执行self.result[nums[i][1]] += j - mid - 1 因为合并时左右数组均是排序好的且j初始为mid+1,故j的左边均比5小,所以加 j - mid - 1
2. 当合并left = [ [2, 1], [5, 0], [6, 2] ], right = [ [1, 4], [1, 5], [1, 6] ] 时, i 一直指向left 的第一个, j已经指向right最后一个,所以执行下边的for 循环
# j-mid-1 相当于j到j=mid+1时中间的元素个数
while i <= mid and j <= R:
if nums[i][0] <= nums[j][0]:
# nums[i][1] 为初始数组中下标
self.result[nums[i][1]] += j - mid - 1
i += 1
else:
j += 1
# 左边数组是排序好的,故下标为i以后的元素均需要加
for k in range(i, mid+1):
self.result[nums[k][1]] += j - mid - 1