【分治算法】python计算右侧小于当前元素的个数

题目描述：

给定一个整数数组 nums，按要求返回一个新数组 counts。数组 counts 有该性质： counts[i] 的值是  nums[i] 右侧小于 nums[i] 的元素的数量。

示例:

输入: [5,2,6,1]
输出: [2,1,1,0] 
解释:
5 的右侧有 2 个更小的元素 (2 和 1).
2 的右侧仅有 1 个更小的元素 (1).
6 的右侧有 1 个更小的元素 (1).
1 的右侧有 0 个更小的元素.

题解：

使用分治思想计算右侧小于当前元素的个数

归并排序是最典型的分治算法，在归并排序排序的基础上实现：计算右侧小于当前元素的个数

思路：

要计算某个元素后面比它小的个数，实际上可以统计在归并排序过程中，合并两个有序数组时，从右侧转到左侧元素的个数(即右侧比左侧元素小的个数)。

在 merge 中，如果右半部的数组指针指向的位置为 j，左半部数组指针指向了 i，如果 left[i] <= right[j]，则说明 right[0...j]（假设j下标0开始）中所有的元素，都是从 arr[x] 的右侧转移到 arr[x] 左侧的。x 表示 left[i] 元素在原数组中的位置。

因为涉及到元素在原数组中的位置故需要先保存元素的位置

代码：

class Solution:
    def countSmaller(self, nums: List[int]) -> List[int]:
        vec = []
        # 记录每个元素的下标
        for index, num in enumerate(nums):
            vec.append([num, index])
        # 初始化结果数组
        self.result = [0]*len(nums)
        
        def merge_sort(nums, L, R):
            if L >= R:
                return
            mid = L + (R - L) // 2
            merge_sort(nums, L, mid)
            merge_sort(nums, mid+1, R)
            i, j = L, mid + 1
            # j-mid-1 相当于j到j=mid+1时中间的元素个数
            while i <= mid and j <= R:
                if nums[i][0] <= nums[j][0]:
                    # nums[i][1] 为初始数组中下标
                    self.result[nums[i][1]] += j - mid - 1
                    i += 1
                else:
                    j += 1

            # 左边数组是排序好的，故下标为i以后的元素均需要加
            for k in range(i, mid+1):
                self.result[nums[k][1]] += j - mid - 1
                
            # 排序
            nums[L:R+1] = sorted(nums[L:R+1])
        
        merge_sort(vec, 0, len(nums)-1)
        return self.result

代码段解释：

举例：

1. [5, 3, 6, 1]  => 最后一次合并时的情况: 左数组left = [ [5, 0] ], 右数组right = [ [1, 3], [6, 2] ] (其中第二维为数组原下标)

当 5 < 6 执行self.result[nums[i][1]] += j - mid - 1 因为合并时左右数组均是排序好的且j初始为mid+1，故j的左边均比5小，所以加 j - mid - 1

2. 当合并left = [ [2, 1], [5, 0], [6, 2] ], right = [ [1, 4], [1, 5], [1, 6] ] 时, i 一直指向left 的第一个， j已经指向right最后一个，所以执行下边的for 循环

# j-mid-1 相当于j到j=mid+1时中间的元素个数
while i <= mid and j <= R:
    if nums[i][0] <= nums[j][0]:
        # nums[i][1] 为初始数组中下标
        self.result[nums[i][1]] += j - mid - 1
        i += 1
    else:
        j += 1

# 左边数组是排序好的，故下标为i以后的元素均需要加
for k in range(i, mid+1):
    self.result[nums[k][1]] += j - mid - 1