【分治算法】python计算右侧小于当前元素的个数

本文介绍了一种使用归并排序算法解决计算数组中每个元素右侧有多少个小于它的元素的问题。通过分治策略,我们可以在排序的过程中同时统计所需信息,实现了O(n log n)的时间复杂度。

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题目描述:

给定一个整数数组 nums,按要求返回一个新数组 counts。数组 counts 有该性质: counts[i] 的值是  nums[i] 右侧小于 nums[i] 的元素的数量。

示例:

输入: [5,2,6,1]
输出: [2,1,1,0] 
解释:
5 的右侧有 2 个更小的元素 (2 和 1).
2 的右侧仅有 1 个更小的元素 (1).
6 的右侧有 1 个更小的元素 (1).
1 的右侧有 0 个更小的元素.

题解:

使用分治思想计算右侧小于当前元素的个数

归并排序是最典型的分治算法,在归并排序排序的基础上实现:计算右侧小于当前元素的个数

思路:

要计算某个元素后面比它小的个数,实际上可以统计在归并排序过程中,合并两个有序数组时,从右侧转到左侧元素的个数(即右侧比左侧元素小的个数)。

在 merge 中,如果右半部的数组指针指向的位置为 j,左半部数组指针指向了 i,如果 left[i] <= right[j],则说明 right[0...j](假设j下标0开始)中所有的元素,都是从 arr[x] 的右侧转移到 arr[x] 左侧的。x 表示 left[i] 元素在原数组中的位置。

因为涉及到元素在原数组中的位置故需要先保存元素的位置

代码:

class Solution:
    def countSmaller(self, nums: List[int]) -> List[int]:
        vec = []
        # 记录每个元素的下标
        for index, num in enumerate(nums):
            vec.append([num, index])
        # 初始化结果数组
        self.result = [0]*len(nums)
        
        def merge_sort(nums, L, R):
            if L >= R:
                return
            mid = L + (R - L) // 2
            merge_sort(nums, L, mid)
            merge_sort(nums, mid+1, R)
            i, j = L, mid + 1
            # j-mid-1 相当于j到j=mid+1时中间的元素个数
            while i <= mid and j <= R:
                if nums[i][0] <= nums[j][0]:
                    # nums[i][1] 为初始数组中下标
                    self.result[nums[i][1]] += j - mid - 1
                    i += 1
                else:
                    j += 1

            # 左边数组是排序好的,故下标为i以后的元素均需要加
            for k in range(i, mid+1):
                self.result[nums[k][1]] += j - mid - 1
                
            # 排序
            nums[L:R+1] = sorted(nums[L:R+1])
        
        merge_sort(vec, 0, len(nums)-1)
        return self.result

代码段解释:

举例:

1. [5, 3, 6, 1]  => 最后一次合并时的情况: 左数组left = [ [5, 0] ], 右数组right = [ [1, 3], [6, 2] ] (其中第二维为数组原下标)

当 5 < 6 执行self.result[nums[i][1]] += j - mid - 1 因为合并时左右数组均是排序好的且j初始为mid+1,故j的左边均比5小,所以加 j - mid - 1

2. 当合并left = [ [2, 1], [5, 0], [6, 2] ], right = [ [1, 4], [1, 5], [1, 6] ] 时, i 一直指向left 的第一个, j已经指向right最后一个,所以执行下边的for 循环

# j-mid-1 相当于j到j=mid+1时中间的元素个数
while i <= mid and j <= R:
    if nums[i][0] <= nums[j][0]:
        # nums[i][1] 为初始数组中下标
        self.result[nums[i][1]] += j - mid - 1
        i += 1
    else:
        j += 1

# 左边数组是排序好的,故下标为i以后的元素均需要加
for k in range(i, mid+1):
    self.result[nums[k][1]] += j - mid - 1

 

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