算法训练之DP小结（分治 + 最优子结构）

最新推荐文章于 2022-06-05 12:43:20 发布

Z.Clark

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分类专栏：思考算法训练文章标签：动态规划算法

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本文深入解析动态规划（DP）的核心概念与实现技巧，包括分治思想、最优子结构原理及其实现方式。探讨了DP在解决复杂问题时的高效策略，如缓存利用和次优解淘汰，并详细介绍了自顶向下与自底向上的实现方法。文章还重点讲解了DP关键点，如状态转移方程，以及在具体问题中的应用实例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

DP（分治 + 最优子结构）

本质上来说，是找最近最简方法，利用数学归纳法的思维，将问题拆解为可重复解决的子问题，寻找其最优子结构。

1. 格外需要注意的技巧

利用缓存（状态的存储数组）剪枝
淘汰次优解

2. 实现方式

自顶向下：递归 + 记忆化搜索
自底向上：循环递推

3. DP关键点

最优子结构 cpp opt[n] = best_of(opt[n - 1], opt[n - 2], ...)
存储中间状态 opt[i]
递推公式（状态转移方程或dp方程）
fib : opt[i] = opt[i - 1] + opt[i - 2]
二维 : opt[i, j] = opt[i + 1][j] + opt[i][j + 1];
...

4. DP数组降维

在一些DP问题中，要注意状态方程间的递推关系，涉及多维状态变化时，要额外开辟低维数组进行记录。另外，如下例所示的处理手法要熟练掌握

//leetcode 309.最佳买卖股票时机含冷冻期
//trac[i][2], 0表示未持有，1表示持有
//trac[i][0] = max(trac[i - 1][0], trac[i - 1][1] + prices[i]);
//trac[i][1] = max(trac[i - 1][1], trac[i - 2][0] - prices[i]);
class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        int trac_i_0 = 0, trac_i_1 = INT_MIN;
        int trac_pre_0 = 0; // 代表 trac[i-2][0]
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            int temp = trac_i_0;//未更新,即i-1
            trac_i_0 = max(trac_i_0, trac_i_1 + prices[i]);//更新一次,即i
            trac_i_1 = max(trac_i_1, trac_pre_0 - prices[i]);
            trac_pre_0 = temp;//对于下一次循环而言，pre已是两次未更新,即i-2
        }
        return trac_i_0;
    }
};