算法基础入门 - 4、二分算法

4、二分算法

主要思想：每次查询都能缩减一半的范围
时间复杂度：O(log n) ； 空间复杂度O(1)：

首先的一个问题：是不是只有排好序的元素才能使用二分算法？

下面的第三道算法题会回答这个问题！

1、在一个有序数组中找某个数是否存在

经典二分算法，无需查找至最后一个值。遍历过程中如果发现了target，直接返回。

解题思路：
1、因为是有序数组，直接找中点下标mid
2、若arr[mid] 比我们的目标值大，说明我们的目标值在[0, mid-1]区间
3、若arr[mid] 比我们的目标值小，说明我们的目标值在[mid+1, length]区间
4、每次判断都可将数据范围缩减一半，最终可得结果

public int binarySearch(int[] arr, int target) {
    int left = 0,right = arr.length-1;
    int result = 0;

    while(left < right) {
        //这种求中点的方式可以防止整数溢出
        int mid = left + ((right - left) >> 1);

        if(arr[mid] > target) {
            right = mid-1;
            continue;
        }
        if(arr[mid] < target) {
            left = mid + 1;
            continue;
        }

        result = mid;
        break;
    }

    return result;
}

2、在一个有序数组中，查找>=某个数的 最左侧的位置

特殊的二分算法，涉及到范围判断，必须查找到最后一个值，才能判断出答案。

解题思路：
1、因为是有序数组，直接找中点下标mid
2、若arr[mid] >= target，说明我们的目标值在[0, mid]区间
3、若arr[mid] < target，说明我们的目标值在[mid+1, length]区间
4、每次判断都可将数据范围缩减一半，最终可得结果

public int rangeBinarySearch(int[] arr, int target) {
    int left = 0,right = arr.length-1;
        while(left < right) {
            int mid = left + ((right-left) >> 1);
            if(arr[mid] >= target) {
                right = mid;
            } else {
                left = mid+1;
            }
        }
        return left;
}

3、在一个无序数组中，求一个局部最小值

特殊情况下的二分： 无序
解决算法问题思路：1、数据是否特殊；2、限定条件是否特殊；

局部最小定义：i下标的元素，既比i-1下标的元素值小，又比i+1下标的元素值小，则可称之为局部最小；（开头的元素和结尾的元素比较特殊，只有一侧有元素，只需要保证比这一侧的元素小即可）
5 3 3 1 1 6 4 4 8 其中1和4都是局部最小值

解题思路：
1、若两端的元素都不是局部最小值，那么这两个数中间肯定有一个（或多个）低点（局部最小值）；
2、取中点，假设中点也不是局部最小值，那么[0, mid） 或者[mid, length] ，这两个区间肯定都有一个或多个低点。
3、假设每次都取[0, mid)
4、每次判断都可将数据范围缩减一半，最终肯定有一次是mid下标即为局部最小值。

public int partMinBinarySearch(int[] arr) {
    int left = 0,right = arr.length-1;
    
    //首先判断两个特殊情况
    if(arr[left] < arr[left+1]) {
        return arr[0];
    }
    if(arr[right] < arr[right-1]) {
        return arr[right];
    }
    
    int result = -1;
    while(left < right) {
        int mid = left + ((right-left) >> 1);
        if(isPartMin(arr, mid)) {
            result = arr[mid];
            break;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    return result;
}

private boolean isPartMin(int[] arr, int index) {
    return arr[index] <= arr[index-1] && arr[index] <= arr[index+1];
}