寻找两个正序数组的中位数

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题目：寻找两个正序数组的中位数

给定两个大小分别为m，n的正序（从小到大）数组nums1和nums2。请找出并返回这两个正序数组的中位数

题目来自力扣

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一、题目分析

给定的两个数组nums1和nums2均为有序（从小到大），第一时间想到的是将两个数组拼接成一个新的有序数组new，在有序数组中寻找中位数存在两种情况：

1. m+n为奇数，其中位数是new的第(m+n+1)//2个数——medi = new[(m+n+1)//2-1]
2. m+n为偶数，其中位数则为new的第(m+n+1)//2和第(m+n+1)//2 +1个数的平均值。——media = mean(new[(m+n+1)//2-1], new[(m+n+1)//2])

如果使用暴力解决的话，使用新的数组接收重新排序后的数组，空间和时间复杂度都太高了。
此时，可以换一种思路，并不非要对数据进行排序，因为两个数组本身已经是有序的，而中位数的索引是可以确定的，所以可以转化为寻找两个数组中第k小的数的问题。

寻找数组中第k个数，可以通过比较nums1[k//2-1]和nums2[k//2-1]的大小（注意此处的k是指的数组中的位置，不是索引下标，所以需要-1），即可排除掉较小的那个数及其左边的所有数。如nums1[k//2-1]<nums2[k//2-1]，意味着nums1[k//2-1]及其左边的k//2-2个数均小于nums2[k//2-1]，然后将nums1[k//2:]作为新的nums1，k更新为k-k//2，重新寻找第k个数。不断递归，当k==1时，即可返回两个数组第一个数中更小的那个。
{插图}
有几种特殊情况需要考虑

1. 存在一个数组为空的情况，因为1<= m+n <= 2000。所以只会有一个数组为空，当存在一个数组为空时，可以直接返回另一个数组的第k个数。
2. 存在一个数组远短于另一个数组，如[1]和[2,3,4,5,6,7]，此时k=4，k//2=2，大于第一个数组的长度。此时可以从比较第k//2个数——>比较较短数组末尾的数，再次更新数组和k的值，即可回到第一个特殊情况。

二、实现

代码实现如下所示：

class Solution:
    def media(self, nums1, nums2, k):
        m = len(nums1)
        # print(nums1)
        # print(nums2)
        # print(k)
        n = len(nums2)

        if m == 0:
            return nums2[k - 1]
        elif n == 0:
            return nums1[k - 1]

        if k == 1:
            return min(nums1[0], nums2[0])
        else:
            index = k // 2 - 1
            if index +1 > m:
                index2 = m-1
                if nums1[index2] < nums2[index2]:
                    nums1 = nums1[index2 + 1:]
                else:
                    nums2 = nums2[index2 + 1:]
                k = k - index2 - 1
                return self.media(nums1, nums2, k)
            elif index +1 > n:
                index2 = n - 1
                if nums1[index2] < nums2[index2]:
                    nums1 = nums1[index2 + 1:]
                else:
                    nums2 = nums2[index2 + 1:]
                k = k - index2 - 1
                return self.media(nums1, nums2, k)
            else:
                if nums1[index] < nums2[index]:
                    nums1 = nums1[index + 1:]
                else:
                    nums2 = nums2[index + 1:]
                k = k - index - 1
                return self.media(nums1, nums2, k)

    def mean(self, nums):
        # print(nums)
        if len(nums) == 1:
            return nums[0]
        else:
            return (nums[0] + nums[1]) / 2

    def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2) -> float:
        m = len(nums1)
        n = len(nums2)
        if m + n == 1 or m + n == 2:
            # print(nums1)
            # print(nums2)
            nums1.extend(nums2)
            return self.mean(nums1)
        else:
            if (m + n) % 2 == 0:
                ans = [self.media(nums1, nums2, (m + n) // 2), self.media(nums1, nums2, (m + n) // 2 + 1)]
            else:
                ans = [self.media(nums1, nums2, (m + n + 1) // 2)]
        return self.mean(ans)

三.需要注意的问题

1. 比较之后，在修改数组时，只可以修改较小的那个数组，因为只能保证nums1的前k//2个数小于nums2的第k//2个数，无法保证nums2[k//2-1]<nums1[k//2]，也无法保证nums[k//2-1]<nums[k//2+1]，即较大数组的大小关系无法确定。
2. 如果一开始m+n=1or2的话，即可直接返回中位数。

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总结

其实算法就是如何更好的解决问题，要不更快，要不就更省资源。优化的过程其实就是等价问题转换的过程。很多时候思考问题，我们下意识会以人脑的思维去思考，如：第一时间想到合并生成新的有序数组。但是事实上，在合并新的有序数组时，我们也在比较数组间的大小关系，考虑把数放在什么位置。只要排完前多少位就可以不必再找了，相当于一个中间过程。
我的收获，其实学习计算机的过程，也是一种审视自己思考的过程，算法题是永远做不完的，但是我们可以去提升自己分析问题的能力和解决问题的效率。