图Graph原理及证明

G=(V,E)
V=节点
E=节点之间的边
n=|V| 节点数
m=|E| 边数

V = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
E = { 1-2, 1-3, 2-3, 2-4, 2-5, 3-5, 3-7, 3-8, 4-5, 5-6, 7-8 }
m = 11, n = 8

一、定义：

• 简单路径：如果路径上的各顶点均不互相重复，称这样的路径为简单路径。

• 连通图：如果对每对节点u和v，它们之间有路径相连，则这个图是连通的。

• 环：一个环是v1,v2,…vk的路径，其中v1=vk,k>2，并且前k-1个点各不相同。

• 树:如果一个无向图是连通的并且无环，则这个图是一棵树。

• 定理： G为一个无向图，下面的两个描述可以推出第三个：
  (1)G是连通的
  (2) G是无环的
  (3)G有n-1条边
  证明:（待证）

二、无向图的搜索

• BFS（广度优先搜素）
  从所有可能的方向向外搜索，一次增加一层。
  **定理：**对每个i,Li由所有与s距离为i的顶点组成。当且仅当t出现在某一层中时，s到t有一条路径相连。
  性质： T为G=(V,E)的BFS树,(x,y)为G的一条边，则x和y的层数最多相差1。