[总结] 离散数学真是博大精深（一）

命题逻辑

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1、命题及其表示

⑴命题：非真即假的陈述句。原子命题：不能分解为更简单的陈述句的命题。复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复合而成的命题。真值：一个命题的真或假，简称值，真用T或1表示，假用F或0表示。由于命题只有真、假两个真值，所以命题逻辑也称二值逻辑。

⑵ 一个原子命题，一般用大写字母或带下标的大写字母，如P，Q，R…，或Pi，Qi，Ri…表示，把表示原子命题的符号，称为命题标识符，简称命题符。一个命题标识符P，如果表示一个确定的命题，则称P为原子命题常元，简称命题常元；若P只表示任意命题的位置标志，或表示不确定的命题，或以原子命题为值的变元P，就称P为原子命题变元，简称命题变元。命题变元是以命题的真值为值的变元。命题变元不是命题。将一个命题变元P用一个特定命题去代替，才能确定它的真值，这时称为对P进行指派或对P进行解释。

2、联结词

  ⑴联结词是逻辑联结词或命题联结词的简称，用它和原子命题构成复合命题。

  ⑵否定联结词：设P是一个命题，由联结词┐和命题P构成┐P，┐P为命题P的否定式复合命题。┐P读为“非P”。┐是自然语言中的“非”、“不”、“没有”等的逻辑抽象，是一个一元运算。

  ⑶合取联结词：令P和Q是两个命题，由联结词∧把P、Q连接成P∧Q，称P∧Q为P和Q的合取式复合命题，P∧Q读为“P与Q”或“P合取Q”，∧是自然语言中的“和”、“与”、“并且”、“既…又…”等的逻辑抽象，是一个二元运算。

  ⑷析取联结词：设P和Q是两个命题，由联结词∨把P、Q连接成P∨Q，称P∨Q为P和Q的析取复合命题，P∨Q读作“P或Q”或“P析取Q”，∨是自然语言中的“或”的逻辑抽象，是一个二元运算。自然语言中的“或”可表示“排斥或”，也可表示“可兼或”，∨表示的是“可兼或”。

⑸条件联结词：设P和Q是两个命题，由联结词→把P、Q连接成P→Q，称P→Q为P和Q的条件式复合命题，把P和Q分别称为P→Q的前件和后件，或者前提和结论。P→Q读作“若P，则Q”或“P条件Q”。→是自然语言中“如果…，则…”,“若…，才能…”等的逻辑抽象，是一个二元运算。

  在自然语言中，前件为假，不管结论真假，整个语句的意义，往往无法判断。但在命题中，当P为F时，无论Q为T还是为F，都规定P→Q为T，这称为“善意推定”。

⑹双条件联结词：令P和Q是两个命题，由联结词⇋把P、Q连接成P⇋Q，称P⇋Q为P和Q的双条件复合命题，P⇋Q读作“P当且仅当Q”。双条件联结词也可以用符号↔来表示。双条件联结词⇋是自然语言中的“充分必要条件”、“当且仅当”等的逻辑抽象，是一个二元运算。

⑺复合命题的真值只取决于构成它们的各原子命题的真值，而与它们的内容、含义无关，与联结词所连接的两原子命题之间是否有关系也无关。∧、∨和⇋具有对称性，而┐、→没有。

⑻各联结词真值表

P	Q	┐P	P∧Q	P∨Q	P→Q	P⇋Q
T	T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	F	F
F	T	T	F	T	T	F
F	F	T	F	F	T	T

3、命题公式

  ⑴联结词、原子命题变元、圆括号可进行有限次的连接，得到许多字符串，那些有意义的字符串，称为命题逻辑中的合式公式，简称命题公式