本文证明了群G的非空子集H是子群的充分必要条件，即H=∅且对任意a，b∈H，ab-1 ∈H。充分性表明若H是子群，闭合性确保所有元素乘积在H内；必要性证明了存在单位元及逆元的条件，确保H满足子群的定义。
证明： 群 G 的 非 空 子 集 H 是 G 的 子 群 ， 当 且 仅 当 H = ∅ ， 且 对 任 意 a , b ∈ H 群 G 的非空子集 H 是 G 的子群，当且仅当 H = ∅，且对任意 a, b ∈ H 群G的非空子集H是G的子群，当且仅当H=∅，且对任意a,b∈H， a b ab ab-1 ∈ H ∈H ∈H。
充分性：
H
H
H是
G
G
G的子群，则对于任意
a
，
b
∈
H
a，b∈H
a，b∈H，存在
b
b
b的逆元
b
b
b-1,由群的封闭性可得
a
b
ab
ab-1
∈
H
∈H
∈H。
必要性：令
a
=
b
a = b
a=b，则依题意有
e
=
a
a
e= aa
e=aa-1
∈
H
∈H
∈H，则
H
H
H存在单位元
e
e
e，且对于任意
a
∈
H
a∈H
a∈H，存在逆元
a
a
a-1
∈
H
∈H
∈H，则对于任意
a
，
b
∈
H
a，b∈H
a，b∈H，存在
b
b
b的逆元
b
b
b-1
∈
H
∈H
∈H，且
a
b
ab
ab-1
∈
H
∈H
∈H，所以
H
H
H满足封闭性.
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