先验概率、后验概率、条件概率以及熵、交叉熵、KL散度(相对熵)扫盲

本文介绍了概率论中的基本概念,包括先验概率、条件概率和后验概率,并通过贝叶斯公式进行详细阐述。同时,讨论了熵、相对熵(KL散度)和交叉熵的概念,用于衡量信息的不确定性和概率分布之间的差异。

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相对熵(KL散度)

熵,交叉熵,相对熵(KL散度)

熵、交叉熵和相对熵的区别与联系

先验概率

      事件发生前的预判概率。可以是基于历史数据的统计,可以由背景常识得出,也可以是人的主观观点给出。一般都是单独事件概率,如P(x),P(y)。

条件概率

      一个事件发生后另一个事件发生的概率。一般的形式为P(x|y)表示y发生的条件下x发生的概率。一般也可以通过统计求得。

后验概率

      事件发生后求的反向条件概率;或者说,基于先验概率求得的反向条件概率。概率形式与条件概率相同。一般是使用贝叶斯公式得到的。

      下面来介绍一下贝叶斯公式:

P(y|x) = ( P(x|y) * P(y) ) / P(x)

      这里:
        P(y|x) 是后验概率,一般是我们求解的目标。

       P(x|y) 是条件概率,又叫似然概率,一般是通过历史数据统计得到。一般不把它叫做先验概率,但从定义上也符合先验定义。

         P(y) 是先验概率,一般都是人主观给出的。贝叶斯中的先验概率一般特指它。

        P(x) 其实也是先验概率,只是在贝叶斯的很多应用中不重要(因为只要最大后验不求绝对值),需要时往往用全概率公式计算得到。

          实例:假设y是文章种类,是一个枚举值;x是向量,表示文章中各个单词的出现次数。在拥有训练集的情况下,显然除了后验概率P(y|x)中的x来自一篇新文章无法得到,p(x),p(y),p(x|y)都是可以在抽样集合上统计出的。

      信息熵反应了一个系统的有序化程度,一个系统越是有序,那么它的信息熵就越低,反之就越高。
    如果一个随机变量 X X 的可能取值为 X = { x 1 , x 2 , . . . , x n } ,对应的概率为

### 信息熵 信息熵是一种衡量随机变量不确定性的指标。对于离型随机变量 \(X\),其概率质量函数为 \(P(X)\),则信息熵定义如下: \[ H(X) = - \sum_{i=1}^{n} P(x_i) \log_2(P(x_i)) \] 其中,\(P(x_i)\) 表示事件 \(x_i\) 发生的概率[^1]。 信息熵越高,则系统的不确定性越大;反之亦然。 --- ### 交叉熵 交叉熵是用来衡量两个概率分布之间差异的一种方法,在机器学习中广泛应用于分类任务中的损失计算。假设真实分布为 \(P\),预测分布为 \(Q\),那么交叉熵可以表示为: \[ H(P, Q) = - \sum_{i=1}^{n} P(x_i) \log(Q(x_i)) \] 这里需要注意的是,交叉熵不仅依赖于真实的概率分布 \(P\),还取决于模型预测的概率分布 \(Q\)。因此,它是评估模型性能的重要工具之一[^2]。 --- ### KL KL (Kullback-Leibler divergence),也称为相对熵,用于量化两个概率分布之间的差异程。给定两个概率分布 \(P\) 和 \(Q\)KL 的公式为: \[ D_{KL}(P || Q) = \sum_{i=1}^{n} P(x_i) \log{\frac{P(x_i)}{Q(x_i)}} \] 值得注意的是,KL 具有 **非对称性** 和 **非负性** 的特点。即通常情况下 \(D_{KL}(P || Q) \neq D_{KL}(Q || P)\)[^3]。 --- ### JS JS (Jensen-Shannon divergence)是对称版本的 KL ,解决了 KL 不对称的问题。它通过引入中间分布来实现这一点。设 \(M = \frac{1}{2}(P + Q)\),则 JS 可写成: \[ D_{JS}(P || Q) = \frac{1}{2} D_{KL}(P || M) + \frac{1}{2} D_{KL}(Q || M) \] 由于 JS 基于 KL 构建,所以它的取值范围在 \([0, 1]\) 内,并且满足对称性和有限性条件。 --- ### 定义区别与联系 | 指标 | 描述 | |------------|------------------------------------------------------------------------------------------| | **信息熵** | 测量单个随机变量本身的不确定性 | | **交叉熵** | 量两个概率分布间的差异,主要用于监督学习中的目标优化 | | **KL ** | 计算一个分布相对于另一个分布的信息增益或“距离”,是非对称的 | | **JS ** | 基于 KL 改进而来,解决非对称问题并提供更稳定的数值表现 | 这些概念都属于信息论范畴,但在实际应用中有不同的侧重点。例如,交叉熵被频繁用作神经网络训练的目标函数,而 KL 更多地出现在变分推断等领域。 --- ### 在机器学习和深学习中的作用 - **信息熵**:帮助理解数据集内部结构以及特征的重要性。 - **交叉熵**:作为分类任务的核心损失函数,指导模型参数调整以最小化误差。 - **KL **:适用于生成对抗网络 (GANs) 或变分自编码器 (VAEs) 中隐空间分布匹配的任务。 - **JS **:相比 KL 更加稳定可靠,尤其适合处理不平衡样本情况下的相似比较场景。 --- ####
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